11. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки ВК=4 см и СК=7 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

1. Биссектриса угла А делит сторону BC на отрезки BK = 4 см и CK = 7 см.
2. Длина стороны BC = BK + CK = 4 см + 7 см = 11 см.
3. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC = 11 см.
4. Также в параллелограмме противоположные стороны AB и CD равны. Обозначим их длину за \( x \).
5. Биссектриса угла A делит угол пополам. Обозначим угол BAD как \( \alpha \). Угол BAC = угол CAD = \( \frac{\alpha}{2} \).
6. Так как AB || DC, то угол BAC = угол ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AC).
7. Так как BC || AD, то угол CAD = угол ACB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).
8. Из этого следует, что угол BAC = угол ACB = \( \frac{\alpha}{2} \).
9. Рассмотрим треугольник ABC. В нем угол BAC = угол ACB. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.
10. Следовательно, стороны AB и BC равны.
11. AB = BC.
12. Мы нашли, что BC = 11 см.
13. Значит, AB = 11 см.
14. Тогда CD = AB = 11 см.
15. Периметр параллелограмма P = 2 * (AB + BC).
16. P = 2 * (11 см + 11 см) = 2 * 22 см = 44 см.

Ответ: 44 см.