11. Треугольники ABC и FDC равнобедренные, $ \angle ABC = 118^\circ $ (рис. 2). Найдите $ \angle FDC $.

Question

11. Треугольники ABC и FDC равнобедренные, $ \angle ABC = 118^\circ $ (рис. 2). Найдите $ \angle FDC $.

$Фото задания: 11. Треугольники ABC и FDC равнобедренные, $ \angle ABC = 118^\circ $ (рис. 2). Найдите $ \angle FDC $.$ Фото задания

Accepted Answer

В $ \triangle ABC $: $ \angle ABC = 118^\circ $. Так как $ \triangle ABC $ равнобедренный, то углы при основании равны. Возможны два случая:

1. $ AB = BC $ (основание $ AC $). Тогда $ \angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 118^\circ) / 2 = 62^\circ / 2 = 31^\circ $.

2. $ AB = AC $ (основание $ BC $). Тогда $ \angle ABC = \angle ACB = 118^\circ $. Сумма углов будет $ 118^\circ + 118^\circ = 236^\circ $, что больше $ 180^\circ $, поэтому этот случай невозможен.

3. $ BC = AC $ (основание $ AB $). Тогда $ \angle BAC = \angle ABC = 118^\circ $. Сумма углов будет $ 118^\circ + 118^\circ = 236^\circ $, что больше $ 180^\circ $, поэтому этот случай невозможен.

Следовательно, $ \angle BAC = \angle BCA = 31^\circ $.

В $ \triangle FDC $: $ \triangle FDC $ равнобедренный. Угол $ \angle FDC $ является углом при основании или при вершине.

Углы $ \angle ACB $ и $ \angle FCD $ являются смежными, если точки $ A, C, F $ лежат на одной прямой, что не следует из рисунка.

Из рисунка видно, что $ \angle ACB = 31^\circ $ и $ \angle FCD $ — смежные углы, так как $ A, C, F $ лежат на одной прямой. Тогда $ \angle FCD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 31^\circ = 149^\circ $.

Если $ \angle FCD = 149^\circ $ — угол при вершине равнобедренного $ \triangle FDC $, то $ \angle FDC = \angle DFC = (180^\circ - 149^\circ) / 2 = 31^\circ / 2 = 15.5^\circ $.

Если $ \angle FCD = 149^\circ $ — угол при основании, то углы при основании равны $ 149^\circ $, что невозможно.

Другой вариант: $ C $ — вершина, $ FD $ — основание. Тогда $ \angle CFD = \angle CDF $.

На рисунке $ C $ — вершина, $ FD $ — основание.

$ \angle ACB = 31^\circ $. $ \angle FCD $ — смежный с $ \angle ACB $, поэтому $ \angle FCD = 180^\circ - 31^\circ = 149^\circ $. Это угол при вершине $ C $ треугольника $ FDC $.

В равнобедренном $ \triangle FDC $ $ \angle FDC = \angle DFC = (180^\circ - 149^\circ) / 2 = 31^\circ / 2 = 15.5^\circ $.

Однако, если $ \triangle ABC $ равнобедренный с основанием $ AC $, то $ \angle BAC = \angle BCA = 31^\circ $.

Если $ \triangle FDC $ равнобедренный, и $ \angle ACB $ и $ \angle FCD $ — смежные, то $ \angle FCD = 180^\circ - 31^\circ = 149^\circ $.

Если $ \angle FDC $ — угол при основании, то $ \angle FDC = \angle DFC $. Тогда $ \angle CFD = \angle FDC $.

Если $ \angle ACB = 31^\circ $ и $ \angle FCD = 180 - 31 = 149 $. Если $ \angle FDC = \angle CFD $, то $ 2\angle FDC + 149 = 180 $, $ 2\angle FDC = 31 $, $ \angle FDC = 15.5 $.

Есть ещё вариант, что $ \angle ABC = 118^\circ $ — это угол при вершине, и $ AB = AC $. Тогда $ \angle ABC = \angle ACB = 118^\circ $. Сумма углов будет $ 118 + 118 > 180 $, что невозможно.

Следовательно, $ \angle BAC = \angle BCA = 31^\circ $.

Из рисунка $ \angle FCD = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 31^\circ = 149^\circ $.

Так как $ \triangle FDC $ равнобедренный, то $ \angle FDC = \angle DFC $.

$ \angle FDC + \angle DFC + \angle FCD = 180^\circ $.

$ 2\angle FDC + 149^\circ = 180^\circ $.

$ 2\angle FDC = 31^\circ $.

$ \angle FDC = 15.5^\circ $.

Ответ: 15.5°

11. Треугольники ABC и FDC равнобедренные, \( \angle ABC = 118^\circ \) (рис. 2). Найдите \( \angle FDC \).

Ответ: