11. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 5. Найдите площадь

Решение:

Пусть квадрат ABCD имеет сторону \( a \). Точка O — середина стороны CD.

По условию, радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину А, равен 5. Это значит, что расстояние от точки O до точки A равно 5.

\[ OA = 5 \]

В квадрате ABCD, сторона CD параллельна стороне AB, и расстояние между ними равно \( a \). Точка O находится на середине CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OAD \).

• OD = \( a/2 \) (так как O — середина CD).
• AD = \( a \) (сторона квадрата).

По теореме Пифагора для \( \triangle OAD \):

\[ OA^2 = OD^2 + AD^2 \]\[ 5^2 = (a/2)^2 + a^2 \]\[ 25 = \frac{a^2}{4} + a^2 \]\[ 25 = \frac{a^2 + 4a^2}{4} \]\[ 25 = \frac{5a^2}{4} \]\[ 100 = 5a^2 \]\[ a^2 = \frac{100}{5} \]\[ a^2 = 20 \]

Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 \).

Ответ: 20