11. При каких значениях x имеет смысл выражение: 1) а) √(5x); б) √(−3x); в) √(x⁴); г) √(−x⁵); 2) а) (x − 2)/√x; б) −6/√(−x); в) 1/(√x − 3); г) √(−x²)?

Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным; если корень находится в знаменателе, оно должно быть строго положительным. В пункте 2в знаменатель также не должен равняться нулю.

1. 1)
   а) 5x ≥ 0, поэтому x ≥ 0.
   б) −3x ≥ 0, поэтому x ≤ 0.
   в) x⁴ ≥ 0 при любом действительном x, поэтому x ∈ ℝ.
   г) −x⁵ ≥ 0, поэтому x ≤ 0.
2. 2)
   а) √x в знаменателе: x > 0.
   б) √(−x) в знаменателе: −x > 0, то есть x < 0.
   в) Требуются x ≥ 0 и √x − 3 ≠ 0. Следовательно, x ≥ 0 и x ≠ 9.
   г) −x² ≥ 0 возможно только при x = 0.

Ответ: 1) а) x ≥ 0; б) x ≤ 0; в) x ∈ ℝ; г) x ≤ 0. 2) а) x > 0; б) x < 0; в) x ≥ 0, x ≠ 9; г) x = 0.