109. В треугольнике АВС AC=BC, AB=8, АН – высота, ВН=2. Найдите косинус угла ВАС.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) \( AC = BC \), значит, треугольник равнобедренный. Высота \( AH \) проведена к основанию \( BC \). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Однако, на чертеже \( AH \) является высотой, проведенной из вершины \( A \) к стороне \( BC \). В равнобедренном треугольнике \( AC=BC \), \( AB=8 \), \( AH \) — высота, \( BH=2 \).

Поскольку \( AH \) — высота, \( \angle AHB = 90^{\circ} \). В \( \triangle AHB \):

\( AB = 8 \) (гипотенуза)

\( BH = 2 \) (катет)

Найдем \( AH \) по теореме Пифагора:

\( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)

\( AH^2 + 2^2 = 8^2 \)

\( AH^2 + 4 = 64 \)

\( AH^2 = 60 \)

\( AH = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \)

Теперь найдем \( BC \). Так как \( AC = BC \) и \( AH \) — высота к \( BC \), \( H \) не обязательно середина \( BC \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( AC = BC \). Пусть \( AC = BC = x \).

В \( \triangle AHC \), \( \angle AHC = 90^{\circ} \).

\( AH^2 + HC^2 = AC^2 \)

\( HC = BC - BH = x - 2 \)

\( 60 + (x-2)^2 = x^2 \)

\( 60 + x^2 - 4x + 4 = x^2 \)

\( 64 - 4x = 0 \)

\( 4x = 64 \)

\( x = 16 \)

Значит, \( AC = BC = 16 \).

Теперь найдем косинус угла \( BAC \) в \( \triangle ABC \).

\( \cos(\angle BAC) = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} \)

\( \cos(\angle BAC) = \frac{16^2 + 8^2 - 16^2}{2 \cdot 16 \cdot 8} \) - это формула косинуса по теореме косинусов, но проще использовать косинус в прямоугольном треугольнике \( AHB \) если бы \( \angle BAC \) был там. Здесь \( \angle BAC \) - это угол в \( \triangle ABC \).

В \( \triangle ABC \), \( AC=BC=16, AB=8 \).

Чтобы найти \( \cos(\angle BAC) \), нужно найти длину прилежащего катета к \( \angle BAC \) и гипотенузы. В \( \triangle ABC \) такого прямоугольного треугольника нет. Используем теорему косинусов.

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \)

\( 16^2 = 8^2 + 16^2 - 2 \cdot 8 \cdot 16 \cdot \cos(\angle BAC) \)

\( 256 = 64 + 256 - 256 \cdot \cos(\angle BAC) \)

\( 0 = 64 - 256 \cdot \cos(\angle BAC) \)

\( 256 \cdot \cos(\angle BAC) = 64 \)

\( \cos(\angle BAC) = \frac{64}{256} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( \cos(\angle BAC) = \frac{1}{4} \).