10. Выполните действия: а) \( \frac{3a-9}{b+2} + \frac{3b+6}{18a-54} \);

Решение:

1. Упростим знаменатели дробей, вынеся общие множители:
2. \( b+2 \) — без изменений.
3. \( 18a - 54 = 18(a - 3) \).
4. \( 3a - 9 = 3(a - 3) \).
5. \( 3b + 6 = 3(b + 2) \).
6. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{3(a - 3)}{b+2} + \frac{3(b+2)}{18(a - 3)} \).
7. Сократим вторую дробь: \( \frac{3(b+2)}{18(a - 3)} = \frac{b+2}{6(a - 3)} \).
8. Выражение стало: \( \frac{3(a - 3)}{b+2} + \frac{b+2}{6(a - 3)} \).
9. Найдем общий знаменатель для дробей. Он равен \( 6(a-3)(b+2) \).
10. Приведём дроби к общему знаменателю:
11. Первая дробь: \( \frac{3(a - 3)}{b+2} \cdot \frac{6(a - 3)}{6(a - 3)} = \frac{18(a - 3)^2}{6(a - 3)(b+2)} \).
12. Вторая дробь: \( \frac{b+2}{6(a - 3)} \cdot \frac{b+2}{b+2} = \frac{(b+2)^2}{6(a - 3)(b+2)} \).
13. Сложим дроби: \( \frac{18(a - 3)^2 + (b+2)^2}{6(a - 3)(b+2)} \).
14. Раскроем скобки в числителе: \( 18(a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 4b + 4) \)
15. \( 18a^2 - 108a + 162 + b^2 + 4b + 4 \)
16. \( 18a^2 - 108a + b^2 + 4b + 166 \)
17. Таким образом, итоговое выражение: \( \frac{18a^2 - 108a + b^2 + 4b + 166}{6(a - 3)(b+2)} \).

Ответ: \( \frac{18a^2 - 108a + b^2 + 4b + 166}{6(a - 3)(b+2)} \).