10. Вычислите: \( \frac{(9^3)^3 \cdot 9^3}{9^{10}} \).

Решение:

Используем свойства степеней:

1. \( (a^m)^n = a^{m } \)
2. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
3. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Применим эти свойства к выражению:

\( \frac{(9^3)^3 \cdot 9^3}{9^{10}} = \frac{9^{3 \cdot 3} \cdot 9^3}{9^{10}} = \frac{9^9 \cdot 9^3}{9^{10}} = \frac{9^{9+3}}{9^{10}} = \frac{9^{12}}{9^{10}} = 9^{12-10} = 9^2 \)

\( 9^2 = 81 \)

Ответ: 81