10. В равнобедренной трапеции ABCD основания BC = 5 и AD, боковые стороны AB и CD равны. BH ⟂ AD, BH = 4, ∠BAH = 45°. Найдите AD.

В прямоугольном треугольнике ABH угол H равен 90°, а угол A равен 45°. Значит, треугольник равнобедренный прямоугольный и AH = BH = 4.

Опустим перпендикуляр из C на основание AD. Получившийся справа отрезок основания равен AH: боковые стороны равны, а высоты трапеции одинаковы, поэтому прямоугольные треугольники у краёв равны.

Следовательно, \(AD = AH + BC + AH = 4 + 5 + 4 = 13\).

Ответ: AD = 13.