10. В группе учится 25 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по экономике и 15 сдали по английскому языку. Укажите номера истинных утверждений.

Дано:

• Всего студентов: 25
• Сдали экономику: 15
• Сдали английский: 15

Анализ утверждений:

1. Утверждение 1: В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.
   Пусть Э - множество сдавших экономику, А - множество сдавших английский.
   |Э| = 15, |А| = 15, |Э ∪ А| ≤ 25.
   Используем формулу включения-исключения: |Э ∪ А| = |Э| + |А| - |Э ∩ А|
   |Э ∪ А| = 15 + 15 - |Э ∩ А| = 30 - |Э ∩ А|.
   Так как |Э ∪ А| ≤ 25, то 30 - |Э ∩ А| ≤ 25, откуда |Э ∩ А| ≥ 5.
   Количество студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно: 25 - |Э ∪ А| = 25 - (30 - |Э ∩ А|) = |Э ∩ А| - 5.
   Поскольку |Э ∩ А| ≥ 5, то количество не сдавших зачёты ≥ 0.
   Если |Э ∩ А| = 5 (минимально возможное), то не сдали ни одного: 5 - 5 = 0.
   Если |Э ∩ А| = 15 (максимально возможное, если все, кто сдал английский, сдали и экономику), то не сдали ни одного: 15 - 5 = 10.
   Таким образом, количество студентов, не сдавших ни одного зачёта, может быть от 0 до 10. Утверждение, что их ровно 11, неверно.
   Неверно.
2. Утверждение 2: Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.
   Мы уже вычислили, что |Э ∩ А| ≥ 5. Это означает, что количество студентов, сдавших оба зачёта, не может быть меньше 5. Следовательно, утверждение верно.
   Верно.
3. Утверждение 3: Меньше 16 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.
   Мы знаем, что |Э ∩ А| ≥ 5. Максимальное значение |Э ∩ А| может быть 15 (если все, кто сдал английский, также сдали экономику). Таким образом, количество студентов, сдавших оба зачёта, находится в диапазоне от 5 до 15. Любое число в этом диапазоне меньше 16. Следовательно, утверждение верно.
   Верно.
4. Утверждение 4: В этой группе найдётся 15 студентов, которые не сдали зачёт по английском, но сдали зачёт по экономике.
   Количество студентов, сдавших экономику, но не сдавших английский: |Э| - |Э ∩ А| = 15 - |Э ∩ А|.
   Так как |Э ∩ А| ≥ 5, то 15 - |Э ∩ А| ≤ 15 - 5 = 10.
   Следовательно, количество студентов, сдавших экономику, но не сдавших английский, не может быть 15. Максимум это 10.
   Неверно.

Ответ: 2, 3