10. По следам Архимеда (20 баллов). В руках любопытного экспериментатора оказался кубик из неизвестного материала, а из измерительных приборов — одни только динамометры. Пытаясь определить его плотность, он соорудил весы, изображённые на рисунке в задаче, длина и масса каждого окрашенного сегмента которых одинаковы. На одну сторону весов он повесил исследуемый кубик, а на другую — алюминиевый кубик с плотностью ρ₀ = 2,7 г/см³, стопор такого же размера. Оказалось, что чтобы удерживать весы в изображённом равновесии, пришлось дополнительно приложить к алюминиевому кубику силу F, направленную вертикально вниз (с красной стрелкой на рисунке). Если же одновременно полностью погрузить оба кубика в воду (плотность ρ = 1 г/см³) — чтобы удержать весы в равновесии пришлось бы приложить такую же по величине и направлению силу, но теперь уже к неизвестному кубику (синяя стрелка на рисунке). Определите плотность неизвестного материала. Дайте ответ в г/см³, округлив до сотых.

По рисунку плечи рычага относятся как 3:2: неизвестный кубик подвешен на расстоянии трёх равных сегментов от опоры, алюминиевый — двух. Кубики изображены одинакового размера, поэтому принимаем их объёмы равными и обозначаем каждый через V.

Обозначим плотность неизвестного материала через ρ. В воздухе условие равновесия моментов:

3ρVg = 2(ρ₀Vg + F).

После погружения в воду на каждый кубик действует выталкивающая сила ρ_вVg. Теперь сила F приложена вниз к неизвестному кубику, поэтому:

3((ρ − ρ_в)Vg + F) = 2(ρ₀ − ρ_в)Vg.

Из первого равенства F = (3ρ − 2ρ₀)Vg/2. Подставим это во второе и сократим на Vg:

3(ρ − ρ_в) + 3(3ρ − 2ρ₀)/2 = 2(ρ₀ − ρ_в).

После упрощения получаем 15ρ = 10ρ₀ + 2ρ_в, следовательно,

ρ = (10 · 2,7 + 2 · 1)/15 = 29/15 ≈ 1,93 г/см³.

Ответ: 1,93 г/см³.