10 Кондитер испёк 50 кексов. Известно, что 15 кексов он посыпал молотыми орехами, а 25 кексов посыпал сахарной пудрой (кекс может быть посыпан и молотыми орехами, и сахарной пудрой вместе). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Не может оказаться меньше 25 кексов, которые посыпаны и молотыми орехами, и сахарной пудрой. 2) Найдутся 20 кексов, которые посыпаны и молотыми орехами, и сахарной пудрой. 3) Найдутся 10 кексов, которые ничем не посыпаны. 4) Не может оказаться больше 25 кексов, которые ничем не посыпаны.

Краткое пояснение:

Для решения задачи используем принцип включения-исключения и свойства множеств, чтобы определить минимальное и максимальное количество кексов в каждой категории.

Пошаговое решение:

• Обозначения:
  • Всего кексов: 50
  • Кексы с орехами (О): 15
  • Кексы с сахарной пудрой (П): 25
  • Кексы с орехами И сахарной пудрой (О ∩ П): ?
  • Кексы ничем не посыпаны (Н): ?
• Шаг 1: Найдем минимальное количество кексов, посыпанных и орехами, и пудрой (О ∩ П).
  Максимальное число кексов, которые могут быть посыпаны только орехами или только пудрой, равно общему числу кексов с орехами (15) и с пудрой (25). Однако, так как кексы могут быть посыпаны обоими видами, минимальное число пересечения (и орехами, и пудрой) находится по формуле:
  |O ∩ П| = |O| + |П| - |O ∪ П|.
  Где |O ∪ П| - общее число кексов, посыпанных хотя бы одним видом. В худшем случае, все кексы (50) могут быть посыпаны чем-то.
  Минимальное |О ∩ П| = 15 + 25 - 50 = 40 - 50 = -10. Так как количество не может быть отрицательным, минимальное количество кексов, посыпанных и орехами, и пудрой, равно 0. Но если мы хотим найти минимальное значение, когда орехов 15, а пудры 25, то возможна ситуация, когда все 15 с орехами также имеют пудру, а остальные 10 с пудрой не имеют орехов. Тогда пересечение равно 15. Или, что более реалистично, 15 (орехи) + 25 (пудра) = 40. Если общее число 50, то 10 кексов могут быть ничем не посыпаны. А пересечение может быть от 0 (если 15 с орехами и 25 с пудрой — это разные кексы) до 15 (если все 15 с орехами также посыпаны пудрой).
  Более точный расчет минимального пересечения: |O ∩ П| = max(0, |O| + |П| - Total) = max(0, 15 + 25 - 50) = max(0, 40 - 50) = 0.
• Шаг 2: Найдем максимальное количество кексов, посыпанных и орехами, и пудрой (О ∩ П).
  Максимальное пересечение равно минимальному из двух множеств.
  Максимальное |О ∩ П| = min(15, 25) = 15.
• Шаг 3: Найдем количество кексов, которые ничем не посыпаны (Н).
  Общее количество кексов = (Кексы только с орехами) + (Кексы только с пудрой) + (Кексы с обоими) + (Кексы ничем не посыпаны).
  Или, используя формулу включения-исключения:
  |O ∪ П| = |O| + |П| - |O ∩ П|
  Количество посыпанных = 15 + 25 - |O ∩ П| = 40 - |O ∩ П|
  Количество не посыпаных = 50 - (40 - |O ∩ П|) = 10 + |O ∩ П|.
  Минимальное количество не посыпаных: 10 + 0 = 10 (когда пересечение 0).
  Максимальное количество не посыпаных: 10 + 15 = 25 (когда пересечение 15).
• Шаг 4: Проверим утверждения:
  • 1) Не может оказаться меньше 25 кексов, которые посыпаны и молотыми орехами, и сахарной пудрой.
    Минимальное пересечение равно 0. Это утверждение НЕВЕРНО.
  • 2) Найдутся 20 кексов, которые посыпаны и молотыми орехами, и сахарной пудрой.
    Максимальное пересечение равно 15. 20 кексов с обоими видами посыпки не могут найтись. Это утверждение НЕВЕРНО.
  • 3) Найдутся 10 кексов, которые ничем не посыпаны.
    Минимальное количество не посыпаных кексов равно 10. Это утверждение ВЕРНО (это достигается, когда пересечение равно 0).
  • 4) Не может оказаться больше 25 кексов, которые ничем не посыпаны.
    Максимальное количество не посыпаных кексов равно 25. Это утверждение ВЕРНО (это достигается, когда пересечение равно 15).

Ответ: 3, 4