10. Как изменится объем куба, если площадь его грани увеличится в 4 раза?

Решение:

Обозначения:

• \( a \) — длина ребра куба
• \( S \) — площадь грани куба
• \( V \) — объем куба

Формулы:

• Площадь грани куба: \( S = a^2 \)
• Объем куба: \( V = a^3 \)

1. Изменение площади грани:

Пусть начальная площадь грани равна \( S_1 \) и начальная длина ребра равна \( a_1 \). Тогда \( S_1 = a_1^2 \).

Новая площадь грани \( S_2 \) стала в 4 раза больше: \( S_2 = 4 \times S_1 \).

Пусть новая длина ребра равна \( a_2 \). Тогда \( S_2 = a_2^2 \).

Подставляем \( S_2 = 4 S_1 \): \( a_2^2 = 4 a_1^2 \).

Чтобы найти \( a_2 \), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( \sqrt{a_2^2} = \sqrt{4 a_1^2} \)
\( a_2 = 2 a_1 \)

Это означает, что новая длина ребра куба стала в 2 раза больше.

2. Изменение объема куба:

Начальный объем: \( V_1 = a_1^3 \).

Новый объем: \( V_2 = a_2^3 \).

Подставляем \( a_2 = 2 a_1 \) в формулу для \( V_2 \):

\( V_2 = (2 a_1)^3 \)
\( V_2 = 2^3 \times a_1^3 \)
\( V_2 = 8 \times a_1^3 \)

Так как \( V_1 = a_1^3 \), то \( V_2 = 8 V_1 \).

Новый объем куба стал в 8 раз больше начального.

Ответ: Объем куба увеличится в 8 раз.