10. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\), а \(CM\) — медиана к гипотенузе \(AB\). Опишем около треугольника окружность с диаметром \(AB\). По теореме Фалеса точка \(C\) лежит на этой окружности.

Так как \(M\) — середина гипотенузы \(AB\), то \(M\) является центром окружности. Поэтому \(CM\) — радиус окружности, а \(AB\) — её диаметр.

Следовательно, \(CM=\dfrac{AB}{2}\).

Что и требовалось доказать.