Контрольные задания > √10+8√2+√9+4√2
Вопрос:

√10+8√2+√9+4√2

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этим корнем по частям.

  1. Упростим внутренние корни:
    • \( \sqrt{9} = 3 \)
  2. Подставим: Теперь выражение выглядит так: \( \sqrt{10 + 8\sqrt{2} + 3 + 4\sqrt{2}} \).
  3. Сгруппируем похожие члены: \( 10 + 3 = 13 \) и \( 8\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \).
  4. Собираем под корнем: Получаем \( \sqrt{13 + 12\sqrt{2}} \).
  5. Теперь нужно избавиться от двойного радикала. Попробуем представить \( 13 + 12\sqrt{2} \) как \( (a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 \).
  6. Сравниваем:
    • \( 2ab = 12 \) => \( ab = 6 \)
    • \( a^2 + 2b^2 = 13 \)
  7. Подбираем значения: Если \( a=3 \) и \( b=2 \), то \( ab=6 \). Проверим второе условие: \( 3^2 + 2(2^2) = 9 + 2(4) = 9 + 8 = 17 \). Не подходит.
  8. Попробуем другой подход: Представим \( 13 + 12\sqrt{2} \) как \( 13 + \sqrt{144 \cdot 2} = 13 + \sqrt{288} \).
  9. Формула для двойного радикала: \( \sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} + \sqrt{\frac{A-C}{2}} \), где \( C = \sqrt{A^2 - B} \).
  10. Найдем C: \( C = \sqrt{13^2 - 288} = \sqrt{169 - 288} \). Здесь \( A^2 - B < 0 \), значит, формула не подходит в таком виде.
  11. Возвращаемся к \( (a + b\sqrt{2})^2 \): Видимо, у нас есть ошибка в предположении. Попробуем представить \( 12\sqrt{2} \) как \( 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \). Если \( a=6 \) и \( b=\sqrt{2} \), то \( a^2 + 2b^2 \) не получится.
  12. Проверим, можно ли представить подкоренное выражение как квадрат суммы: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
  13. Ищем числа, квадрат которых даст 13 и 8√2.
  14. Заметим, что \( 8\sqrt{2} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \).
  15. Попробуем так: \( (4+\sqrt{2})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 + 8\sqrt{2} + 2 = 18 + 8\sqrt{2} \). Не подходит.
  16. Попробуем так: \( (2\sqrt{2} + ?)^2 \).
  17. Еще раз посмотрим на \( 13 + 12\sqrt{2} \).
  18. Заметим, что \( 12\sqrt{2} = 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \).
  19. Предположим, что \( a=6 \) и \( b=\sqrt{2} \). Тогда \( a^2 + b^2 = 36 + 2 = 38 \). Не 13.
  20. Попробуем представить \( 12\sqrt{2} \) как \( 2 \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{72} \).
  21. Рассмотрим \( 13 + 12\sqrt{2} = 13 + 2 \cdot 6 \sqrt{2} \).
  22. Ищем два числа, сумма квадратов которых равна 13, а удвоенное произведение равно \( 12\sqrt{2} \).
  23. Возможно, одно из чисел содержит \( \sqrt{2} \).
  24. Пусть \( a = x \) и \( b = y\sqrt{2} \). Тогда \( x^2 + 2y^2 = 13 \) и \( 2xy\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \) => \( xy = 6 \).
  25. Если \( x=3, y=2 \), то \( 3^2 + 2(2^2) = 9 + 8 = 17 \). Не подходит.
  26. Если \( x=6, y=1 \), то \( 6^2 + 2(1^2) = 36 + 2 = 38 \). Не подходит.
  27. Если \( x=2, y=3 \), то \( 2^2 + 2(3^2) = 4 + 18 = 22 \). Не подходит.
  28. Попробуем разложить \( 12\sqrt{2} \) как \( 2 \cdot \sqrt{72} \).
  29. Ищем \( a^2+b^2 = 13 \) и \( 2ab = \sqrt{288} \).
  30. Заметим, что \( 13 = 9+4 \) и \( 12\sqrt{2} = 2 \cdot 6 \sqrt{2} \).
  31. Попробуем \( (x + y)^2 \).
  32. Представим \( 13 + 12\sqrt{2} \) как \( a^2 + 2ab + b^2 \).
  33. Если \( a^2=9 \) и \( b^2=4 \), то \( a=3 \) и \( b=2 \). Тогда \( 2ab = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \). Это число совпадает с коэффициентом перед \( \sqrt{2} \).
  34. Но нам нужно \( 12\sqrt{2} \).
  35. Попробуем представить \( 13 + 12\sqrt{2} \) как \( (x + y\sqrt{2})^2 \).
  36. \( (x + y\sqrt{2})^2 = x^2 + 2xy\sqrt{2} + 2y^2 \).
  37. Сравниваем: \( x^2 + 2y^2 = 13 \) и \( 2xy = 12 \) => \( xy = 6 \).
  38. Перебираем делители 6:
    • \( x=1, y=6 \): \( 1^2 + 2(6^2) = 1 + 2(36) = 73 \). Не 13.
    • \( x=2, y=3 \): \( 2^2 + 2(3^2) = 4 + 2(9) = 4 + 18 = 22 \). Не 13.
    • \( x=3, y=2 \): \( 3^2 + 2(2^2) = 9 + 2(4) = 9 + 8 = 17 \). Не 13.
    • \( x=6, y=1 \): \( 6^2 + 2(1^2) = 36 + 2(1) = 38 \). Не 13.
  39. Попробуем представить \( 13 + 12\sqrt{2} \) как \( (x\sqrt{2} + y)^2 \).
  40. \( (x\sqrt{2} + y)^2 = 2x^2 + 2xy\sqrt{2} + y^2 \).
  41. Сравниваем: \( 2x^2 + y^2 = 13 \) и \( 2xy = 12 \) => \( xy = 6 \).
  42. Перебираем делители 6:
    • \( x=1, y=6 \): \( 2(1^2) + 6^2 = 2 + 36 = 38 \). Не 13.
    • \( x=2, y=3 \): \( 2(2^2) + 3^2 = 2(4) + 9 = 8 + 9 = 17 \). Не 13.
    • \( x=3, y=2 \): \( 2(3^2) + 2^2 = 2(9) + 4 = 18 + 4 = 22 \). Не 13.
    • \( x=6, y=1 \): \( 2(6^2) + 1^2 = 2(36) + 1 = 72 + 1 = 73 \). Не 13.
  43. Возможно, в исходном выражении ошибка, или мы что-то упускаем.
  44. Давайте проверим, что \( (4 + 2\sqrt{2})^2 \).
  45. \( (4 + 2\sqrt{2})^2 = 16 + 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 16 + 16\sqrt{2} + 8 = 24 + 16\sqrt{2} \).
  46. А если \( (2 + 4\sqrt{2})^2 = 4 + 2 \cdot 2 \cdot 4\sqrt{2} + (4\sqrt{2})^2 = 4 + 16\sqrt{2} + 32 = 36 + 16\sqrt{2} \).
  47. Попробуем упростить \( 12\sqrt{2} \) как \( 2 imes 6 imes extrm{sqrt}(2) \).
  48. Ищем \( a^2 + b^2 = 13 \) и \( 2ab = 12 extrm{sqrt}(2) \).
  49. Заметим, что \( 13 = 9 + 4 \). И \( 12 extrm{sqrt}(2) = 2 imes 6 imes extrm{sqrt}(2) \).
  50. Если \( a=3 \) и \( b=2 extrm{sqrt}(2) \), то \( a^2 + b^2 = 9 + (2 extrm{sqrt}(2))^2 = 9 + 8 = 17 \). Не подходит.
  51. Если \( a=2 extrm{sqrt}(2) \) и \( b=3 \), то \( a^2 + b^2 = (2 extrm{sqrt}(2))^2 + 9 = 8 + 9 = 17 \). Не подходит.
  52. Попробуем представить \( 13 + 12\sqrt{2} \) как \( (a+b)^2 \).
  53. \( 13 + 2 imes 6 imes extrm{sqrt}(2) \).
  54. Нам нужно найти два числа, сумма квадратов которых равна 13, а их удвоенное произведение равно \( 12\sqrt{2} \).
  55. Это значит, что одно из чисел должно содержать \( \sqrt{2} \).
  56. Рассмотрим \( a^2 + b^2 = 13 \) и \( ab = 6\sqrt{2} \).
  57. Если \( a=6 \) и \( b=\sqrt{2} \), то \( a^2+b^2 = 36+2 = 38 \). Не 13.
  58. Если \( a=3 \) и \( b=2\sqrt{2} \), то \( a^2+b^2 = 9+(2\sqrt{2})^2 = 9+8 = 17 \). Не 13.
  59. Если \( a=2\sqrt{2} \) и \( b=3 \), то \( a^2+b^2 = (2\sqrt{2})^2+9 = 8+9 = 17 \). Не 13.
  60. Попробуем разложить \( 12\sqrt{2} \) как \( 2 imes (2\sqrt{2}) imes 3 \).
  61. Пусть \( a=2\sqrt{2} \) и \( b=3 \). Тогда \( a^2 = 8 \) и \( b^2 = 9 \). Сумма квадратов \( 8+9=17 \). Не 13.
  62. Пусть \( a=3 \) и \( b=2\sqrt{2} \). Тогда \( a^2 = 9 \) и \( b^2 = 8 \). Сумма квадратов \( 9+8=17 \). Не 13.
  63. Возможно, в задании опечатка. Предположим, что вместо \( 10 \) было \( 17 \). Тогда \( \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} \).
  64. \( 17 + 12\sqrt{2} = 17 + 2 imes 6 imes extrm{sqrt}(2) \).
  65. \( a^2 + b^2 = 17 \) и \( ab = 6 extrm{sqrt}(2) \).
  66. Если \( a=6 \) и \( b= extrm{sqrt}(2) \), то \( a^2+b^2 = 36+2 = 38 \).
  67. Если \( a=3 \) и \( b=2 extrm{sqrt}(2) \), то \( a^2+b^2 = 9+8 = 17 \). А \( ab = 3 imes 2 extrm{sqrt}(2) = 6 extrm{sqrt}(2) \).
  68. Значит, \( 17 + 12\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2 \).
  69. Тогда \( \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2} \).
  70. Но в исходном выражении было \( 10 \).
  71. Давайте проверим, можно ли упростить \( 8\sqrt{2} \) и \( 4\sqrt{2} \) иначе.
  72. \( 10 + 8\sqrt{2} + 3 + 4\sqrt{2} = 13 + 12\sqrt{2} \).
  73. Если попробовать \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \).
  74. \( 13 + 12\sqrt{2} = 13 + 2 \cdot 6\sqrt{2} = 13 + 2 \cdot \sqrt{36 \cdot 2} = 13 + 2\sqrt{72} \).
  75. Ищем \( a+b=13 \) и \( ab=72 \).
  76. Заметим, что \( 8 imes 9 = 72 \) и \( 8+9 = 17 \). Не 13.
  77. \( 6 imes 12 = 72 \) и \( 6+12 = 18 \). Не 13.
  78. \( 72 imes 1 = 72 \) и \( 72+1 = 73 \). Не 13.
  79. \( 24 imes 3 = 72 \) и \( 24+3 = 27 \). Не 13.
  80. \( 36 imes 2 = 72 \) и \( 36+2 = 38 \). Не 13.
  81. Возможно, что \( 10 + 8\sqrt{2} \) само упрощается.
  82. \( 10 + 2 \cdot 4 \sqrt{2} = 10 + 2 \sqrt{16 \cdot 2} = 10 + 2 \sqrt{32} \).
  83. Ищем \( a+b=10 \) и \( ab=32 \). Это \( 8 \) и \( 4 \).
  84. Значит, \( \sqrt{10 + 8\sqrt{2}} = \sqrt{8} + \sqrt{4} = 2\sqrt{2} + 2 \).
  85. Теперь второе слагаемое: \( \sqrt{9+4\sqrt{2}} \).
  86. \( 9 + 2 \cdot 2 \sqrt{2} = 9 + 2 \sqrt{4 \cdot 2} = 9 + 2 \sqrt{8} \).
  87. Ищем \( a+b=9 \) и \( ab=8 \). Это \( 8 \) и \( 1 \).
  88. Значит, \( \sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{8} + \sqrt{1} = 2\sqrt{2} + 1 \).
  89. Теперь сложим результаты: \( (2\sqrt{2} + 2) + (2\sqrt{2} + 1) = 4\sqrt{2} + 3 \).

    90. Ответ: 3 + 4√2

ГДЗ по фото 📸

Похожие