1. В треугольнике АВС известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 12. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему меньший треугольник. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия \( k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \) (так как DE — средняя линия).

Отношение площадей: \( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).

Площадь треугольника ABC в 4 раза больше площади треугольника CDE:

\( S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 12 = 48 \) квадратных единиц.

Ответ: 48.