1. В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла A делит сторону BC на отрезки BE = 8 см и CE = 2 см. ∠AEC = 150°. Найти: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма; в) определить, вид четырехугольника AECD.

Так как E лежит на стороне BC, лучы EB и EC противоположны, поэтому углы AEB и AEC смежные:

∠AEB = 180° − 150° = 30°.

В треугольнике ABE угол A биссектрисы равен ∠BAE, а из суммы углов треугольника:

∠BAE = 180° − 30° − ∠ABE. Поскольку AB ∥ CD и BE лежит на BC, удобнее использовать углы параллелограмма: ∠ABE равен углу между AB и BC, то есть тупому углу B. Из условия биссектрисы ∠BAE = ½∠A. А ∠A и ∠B дополнительные. Решая, получаем ∠A = 60°, ∠B = 120°.

Противоположные углы параллелограмма равны, значит ∠C = 60°, ∠D = 120°.

Длина BC = BE + CE = 8 + 2 = 10 см. В параллелограмме AB = CD и BC = AD. Также из того, что AE — биссектриса угла A, а BE лежит на BC, в треугольнике ABE получаем AB = BE = 8 см. Следовательно, периметр:

P = 2(AB + BC) = 2(8 + 10) = 36 см.

В четырёхугольнике AECD стороны AE и CD не параллельны в общем случае, но EC лежит на BC, а AB ∥ CD. По данным задачи AE не обязана быть параллельна CD; четырёхугольник AECD — трапеция? Поскольку AE — биссектриса, и вычисленные углы дают ∠AEC = 150°, тогда ∠ECD = ∠BCD = 60°. В четырёхугольнике AECD углы при E и C в сумме 210°, а из конфигурации видна одна пара параллельных сторон: AE ∥ CD не следует. Следовательно, это обычный выпуклый четырёхугольник, не определяемый как специальный по данным.

Ответ: а) 60°, 120°, 60°, 120°; б) 36 см; в) выпуклый четырёхугольник AECD.