1. Упростите: 1) sinx⋅cos2x+cosx⋅sin2x; 2) cos3x⋅cosx+sin3x⋅sinx; 3) sint⋅cos3t−cost⋅sin3t; 4) cos65°⋅cos25°−sin65°⋅sin25°; 5) cos 6°⋅cos 51° + sin 6°⋅sin 51°; 6) √2 sin(a+π/4); 7) sin10°⋅cos18° + cos10°⋅sin18° / cos40°⋅cos12° + sin40°⋅sin12°; 8) (tgy+tg2y)/(1−tgy⋅tg2y); 9) (tg73°−tg13°)/(1+tg73°⋅tg13°); 10) (1+tg73°−tg13°)/(tg73°−tg13°). 2. Дано: cos α = 5/4; 0 < α < π/2; cos β = 15/17; 3π/2 < β < 2π. Найдите: cos(α-β)

1. Упрощение выражений:

1. \( \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x = \sin(x + 2x) = \sin 3x \)
2. \( \cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x = \cos(3x - x) = \cos 2x \)
3. \( \sin t \cos 3t - \cos t \sin 3t = \sin(t - 3t) = \sin(-2t) = -\sin 2t \)
4. \( \cos 65° \cos 25° - \sin 65° \sin 25° = \cos(65° + 25°) = \cos 90° = 0 \)
5. \( \cos 6° \cos 51° + \sin 6° \sin 51° = \cos(51° - 6°) = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
6. \( \sqrt{2} \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \sin \alpha \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos \alpha \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sin \alpha + \cos \alpha \)
7. \( \frac{\sin 10° \cos 18° + \cos 10° \sin 18°}{\cos 40° \cos 12° + \sin 40° \sin 12°} = \frac{\sin(10° + 18°)}{\cos(40° - 12°)} = \frac{\sin 28°}{\cos 28°} = \tan 28° \)
8. \( \frac{\tan y + \tan 2y}{1 - \tan y \tan 2y} = \tan(y + 2y) = \tan 3y \)
9. \( \frac{\tan 73° - \tan 13°}{1 + \tan 73° \tan 13°} = \tan(73° - 13°) = \tan 60° = \sqrt{3} \)
10. \( \frac{1 + \tan 73° - \tan 13°}{\tan 73° - \tan 13°} \) — данное выражение не упрощается по стандартным формулам. Возможно, в условии ошибка.

2. Нахождение cos(α-β):

Дано: \( \cos \alpha = \frac{4}{5}, 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (α — угол I четверти).

Так как \( \alpha \) — угол I четверти, \( \sin \alpha > 0 \).

\( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).

Дано: \( \cos \beta = \frac{15}{17}, \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi \) (β — угол IV четверти).

Так как \( \beta \) — угол IV четверти, \( \sin \beta < 0 \).

\( \sin \beta = -\sqrt{1 - \cos^2 \beta} = -\sqrt{1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{225}{289}} = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17} \).

Используем формулу косинуса разности: \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).

\( \cos(\alpha - \beta) = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{15}{17}\right) + \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{36}{85} \).

Ответ: 1. 1) \( \sin 3x \); 2) \( \cos 2x \); 3) \( -\sin 2t \); 4) 0; 5) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \); 6) \( \sin \alpha + \cos \alpha \); 7) \( \tan 28° \); 8) \( \tan 3y \); 9) \( \sqrt{3} \). 2. \( \frac{36}{85} \).