1. Упростите: 1) 2sin6x⋅cos6x; 2) cos² 26°−sin² 26°; 3) 2 sin(π/8)⋅cos(π/8); 4) cos² 19°−sin² 19°; 5) 2 sin(π/8)⋅cos(π/8); 6) sin(π/8)⋅cos(π/8); 7) cos²(π/16) - sin²(π/16); 8) sin 40°/cos 20°; 9) sin 40° / 2 sin 20°; 10) cos² 16°-sin² 16° - cos 32°; 11) 2tg12°/(1-tg²12°); 12) (1-tg²12°)/(2tg12°). 2. Дано: sin α = -12/13; π < α < 2π. Найдите sin2α.

Question

1. Упростите: 1) 2sin6x⋅cos6x; 2) cos² 26°−sin² 26°; 3) 2 sin(π/8)⋅cos(π/8); 4) cos² 19°−sin² 19°; 5) 2 sin(π/8)⋅cos(π/8); 6) sin(π/8)⋅cos(π/8); 7) cos²(π/16) - sin²(π/16); 8) sin 40°/cos 20°; 9) sin 40° / 2 sin 20°; 10) cos² 16°-sin² 16° - cos 32°; 11) 2tg12°/(1-tg²12°); 12) (1-tg²12°)/(2tg12°). 2. Дано: sin α = -12/13; π < α < 2π. Найдите sin2α.

Фото задания

Accepted Answer

1. Упрощение выражений:

\( 2\sin 6x \cos 6x = \sin(2 \cdot 6x) = \sin 12x \)
\( \cos^2 26° - \sin^2 26° = \cos(2 \cdot 26°) = \cos 52° \)
\( 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \cos^2 19° - \sin^2 19° = \cos(2 \cdot 19°) = \cos 38° \)
\( 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \left(2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \)
\( \cos^2 \frac{\pi}{16} - \sin^2 \frac{\pi}{16} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \cos \frac{\pi}{8} \)
\( \frac{\sin 40°}{\cos 20°} \) — данное выражение не упрощается напрямую.
\( \frac{\sin 40°}{2 \sin 20°} = \frac{2 \sin 20° \cos 20°}{2 \sin 20°} = \cos 20° \)
\( \cos^2 16° - \sin^2 16° - \cos 32° = \cos(2 \cdot 16°) - \cos 32° = \cos 32° - \cos 32° = 0 \)
\( \frac{2\tan 12°}{1 - \tan^2 12°} = \tan(2 \cdot 12°) = \tan 24° \)
\( \frac{1 - \tan^2 12°}{2 \tan 12°} = \frac{1}{\frac{2 \tan 12°}{1 - \tan^2 12°}} = \frac{1}{\tan(2 \cdot 12°)} = \frac{1}{\tan 24°} = \cot 24° \)

2. Нахождение sin2α:

Дано: \( \sin \alpha = -\frac{12}{13}, \pi < \alpha < 2\pi \) (α — угол III или IV четверти).

Однако, \( \sin \alpha \) отрицателен, что соответствует III и IV четвертям. Но условие \( \pi < \alpha < 2\pi \) покрывает обе эти четверти. Чтобы определить знак \( \cos \alpha \), нам нужно точнее знать четверть. По условию \( \sin \alpha = -12/13 \). Если \( \alpha \) в III четверти, \( \cos \alpha < 0 \). Если \( \alpha \) в IV четверти, \( \cos \alpha > 0 \).

\( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm\sqrt{1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} \).

Учитывая, что \( \pi < \alpha < 2\pi \), \( \sin \alpha = -12/13 < 0 \) и \( \cos \alpha = -5/13 < 0 \) (III четверть).

Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

\( \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = 2 \cdot \frac{60}{169} = \frac{120}{169} \).

Ответ: 1. 1) \( \sin 12x \); 2) \( \cos 52° \); 3) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \); 4) \( \cos 38° \); 5) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \); 6) \( \frac{\sqrt{2}}{4} \); 7) \( \cos \frac{\pi}{8} \); 8) \( \frac{\sin 40°}{\cos 20°} \); 9) \( \cos 20° \); 10) 0; 11) \( \tan 24° \); 12) \( \cot 24° \). 2. \( \frac{120}{169} \).