1) Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 18 см, боковые ребра 15 см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение:

Для нахождения площади полной поверхности пирамиды нужно найти площадь основания и площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания (квадрата):
   \( S_{осн} = a^2 \)
   \( S_{осн} = 18^2 = 324 \) см².
2. Апофема пирамиды (h_a):
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. Используем теорему Пифагора. Сначала найдем высоту боковой грани (апофему). В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром (l=15), половиной диагонали основания (d/2) и высотой пирамиды (H). Найдем апофему (h_a) через половину стороны основания (a/2 = 18/2 = 9) и боковое ребро (l=15). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой боковой грани (апофемой), половиной стороны основания и боковым ребром, мы можем найти апофему. Однако, нам дано боковое ребро, а не высота пирамиды. Найдем высоту боковой грани (апофему), рассмотрев прямоугольный треугольник, где катетами являются апофема (h_a) и половина стороны основания (a/2 = 9), а гипотенузой — боковое ребро (l = 15).
   \( h_a^2 + (a/2)^2 = l^2 \)
   \( h_a^2 + 9^2 = 15^2 \)
   \( h_a^2 + 81 = 225 \)
   \( h_a^2 = 225 - 81 \)
   \( h_a^2 = 144 \)
   \( h_a = \sqrt{144} = 12 \) см.
3. Площадь боковой поверхности:
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a \)
   где \( P_{осн} \) — периметр основания.
   \( P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 18 = 72 \) см.
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 12 = 36 \cdot 12 = 432 \) см².
4. Площадь полной поверхности:
   \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)
   \( S_{полн} = 324 + 432 = 756 \) см².

Ответ: 756 см².