1. Сколько существует несократимых правильных дробей со знаменателем 145?

Решение:

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1.

Нам нужно найти количество натуральных чисел \( n \), таких что \( 1 \le n < 145 \) и \( \text{НОД}(n, 145) = 1 \). Это число равно значению функции Эйлера \( \varphi(145) \).

Разложим число 145 на простые множители: \( 145 = 5 \times 29 \).

Теперь вычислим \( \varphi(145) \):

\[ \varphi(145) = 145 \left(1 - \frac{1}{5}\right) \left(1 - \frac{1}{29}\right) = 145 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{28}{29} = \frac{145}{5} \cdot 4 \cdot \frac{28}{29} = 29 \cdot 4 \cdot \frac{28}{29} = 4 \cdot 28 = 112 \]

Ответ: 112.