1. Решить уравнения: а) $\sqrt{2x^2-12x+46}-\sqrt{x^2-6x+22}=3$; б) $\sqrt{2x^2-8x+49}-\sqrt{x^2-4x+21}=4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Решить уравнения: а) $\sqrt{2x^2-12x+46}-\sqrt{x^2-6x+22}=3$; б) $\sqrt{2x^2-8x+49}-\sqrt{x^2-4x+21}=4$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Обозначим $u=\sqrt{x^2-6x+22}$, тогда $u\ge 0$. Первый подкоренный трёхчлен равен $2(x^2-6x+22)+2$, поэтому уравнение принимает вид $\sqrt{2u^2+2}-u=3$.
Перенесём $u$ и возведём обе части в квадрат: $\sqrt{2u^2+2}=u+3$, откуда $2u^2+2=(u+3)^2$. Следовательно, $u^2-6u-7=0$, то есть $(u-7)(u+1)=0$. С учётом $u\ge0$ получаем $u=7$.
Тогда $x^2-6x+22=49$, или $(x-3)^2=36$. Значит, $x=-3$ или $x=9$. При обоих значениях исходное уравнение выполняется.
б) Обозначим $u=\sqrt{x^2-4x+21}$, тогда $u\ge 0$. Первый подкоренный трёхчлен равен $2(x^2-4x+21)+7$, поэтому получаем $\sqrt{2u^2+7}-u=4$.
Перенесём $u$ и возведём обе части в квадрат: $\sqrt{2u^2+7}=u+4$, откуда $2u^2+7=(u+4)^2$. Следовательно, $u^2-8u-9=0$, то есть $(u-9)(u+1)=0$. С учётом $u\ge0$ получаем $u=9$.
Тогда $x^2-4x+21=81$, или $(x-2)^2=64$. Значит, $x=-6$ или $x=10$. При обоих значениях исходное уравнение выполняется.

Ответ: а) $x=-3, 9$; б) $x=-6, 10$.

1. Решить уравнения: а) \(\sqrt{2x^2-12x+46}-\sqrt{x^2-6x+22}=3\); б) \(\sqrt{2x^2-8x+49}-\sqrt{x^2-4x+21}=4\).