1. Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 50 см, а одна из сторон на 3 больше другой. Какими могут быть стороны треугольника? Рассмотрите все случаи.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны a, a и b.

Периметр треугольника: \( P = 2a + b \).

По условию \( P = 50 \) см.

Случай 1: Основание больше боковой стороны на 3 см.

\( b = a + 3 \).
\( 2a + (a + 3) = 50 \)
\( 3a = 47 \)
\( a = \frac{47}{3} = 15\frac{2}{3} \) см.
\( b = 15\frac{2}{3} + 3 = 18\frac{2}{3} \) см.

Проверка неравенства треугольника: \( 15\frac{2}{3} + 15\frac{2}{3} = 31\frac{1}{3} > 18\frac{2}{3} \). Условие выполняется.

Случай 2: Боковая сторона больше основания на 3 см.

\( a = b + 3 \).
\( 2(b + 3) + b = 50 \)
\( 2b + 6 + b = 50 \)
\( 3b = 44 \)
\( b = \frac{44}{3} = 14\frac{2}{3} \) см.
\( a = 14\frac{2}{3} + 3 = 17\frac{2}{3} \) см.

Проверка неравенства треугольника: \( 17\frac{2}{3} + 17\frac{2}{3} = 35\frac{1}{3} > 14\frac{2}{3} \). Условие выполняется.

Случай 3: Одна из сторон равна 3 см.

Если боковая сторона \( a = 3 \) см, то \( 2 \cdot 3 + b = 50 \) \( 6 + b = 50 \) \( b = 44 \) см. Неравенство треугольника: \( 3 + 3 = 6 < 44 \). Условие НЕ выполняется.

Если основание \( b = 3 \) см, то \( 2a + 3 = 50 \) \( 2a = 47 \) \( a = 23.5 \) см. Неравенство треугольника: \( 23.5 + 23.5 = 47 > 3 \). Условие выполняется.

Ответ: Стороны треугольника могут быть 15⅔ см, 15⅔ см, 18⅔ см или 17⅔ см, 17⅔ см, 14⅔ см или 23,5 см, 23,5 см, 3 см.