Контрольные задания > 1. Отрезки КВ и КС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки К. Найдите угол ВКС, если середина отрезка КО лежит на окружности.
Вопрос:

1. Отрезки КВ и КС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки К. Найдите угол ВКС, если середина отрезка КО лежит на окружности.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткая запись:

  • КВ, КС — касательные к окружности с центром О.
  • Точка К — точка касания.
  • Середина отрезка КО лежит на окружности.
  • Найти: угол ВКС.
Краткое пояснение: Так как точка касания лежит на окружности, а середина отрезка КО также лежит на окружности, это означает, что расстояние от центра О до точки К равно двум радиусам. Это возможно только если К — это точка на окружности, а О — точка на окружности, и расстояние КО равно двум радиусам (диаметр). Однако, условие «проведенными из точки К» означает, что К — внешняя точка. Если середина КО лежит на окружности, то радиус равен половине КО. А так как КВ и КС — касательные, то ОК перпендикулярно касательной в точке касания, а треугольники ОВК и ОСК — прямоугольные.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Обозначим радиус окружности как r. По условию, середина отрезка КО лежит на окружности. Пусть эта середина — точка М. Тогда OM = r. Так как М — середина КО, то КО = 2 * OM = 2r.
  2. Шаг 2: Отрезки КВ и КС — касательные к окружности, проведенные из точки К. Радиус, проведенный в точку касания (ОВ и ОС), перпендикулярен касательной. Следовательно, углы ОВК и ОСК равны 90°.
  3. Шаг 3: Рассмотрим треугольники ОВК и ОСК. Они прямоугольные, ОВ = ОС = r (радиусы окружности). ОК — общая гипотенуза. По теореме Пифагора: $$KB^2 = OK^2 - OB^2 = (2r)^2 - r^2 = 4r^2 - r^2 = 3r^2$$. Следовательно, $$KB = \sqrt{3}r$$. Аналогично, $$KC = \sqrt{3}r$$.
  4. Шаг 4: Треугольники ОВК и ОСК равны по гипотенузе и катету (ОК и OB/OC). Следовательно, углы BKO и CKO равны. Угол ВКС = 2 * угол BKO.
  5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике ОВК: $$\sin(\angle BKO) = \frac{OB}{OK} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$$.
  6. Шаг 6: Отсюда, угол BKO = 30°.
  7. Шаг 7: Тогда угол ВКС = 2 * угол BKO = 2 * 30° = 60°.

Ответ: 60°

ГДЗ по фото 📸

Похожие