1. Определение угла. Обозначение угла. Построение угла, равного данному (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по трем сторонам. 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. Найдите угол при вершине. 4. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Билет 3.

1. Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины угла). Обозначается тремя большими латинскими буквами, средняя из которых – вершина угла, например, \( \angle ABC \), или одной буквой, если вершина не совпадает с другими вершинами фигуры. Построение угла, равного данному: 1. Провести луч. 2. Из вершины данного угла провести дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла. 3. Не меняя радиуса, из начала луча провести дугу. 4. Измерить расстояние между точками пересечения сторон данного угла с дугой. 5. Этим расстоянием провести дугу из точки пересечения луча с первой дугой. 6. Соединить начало луча с точкой пересечения дуг – полученный угол равен данному.
2. Признак равенства треугольников по трем сторонам (третий признак): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Дано: Равнобедренный треугольник ABC, \( \angle A = \angle C \). \( \angle A = 72^\circ \).
   Найти: \( \angle B \).
   
   Решение:
   Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Угол при основании равен \( 72^\circ \).
   Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).
   \[ \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (72^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \]Ответ: Угол при вершине равен \( 36^\circ \).
4. Дано: Треугольник ABC, \( \angle A : \angle B : \angle C = 1:2:3 \). BM – биссектриса \( \angle ABC \). BM = 6.
   Найти: MC.
   
   Решение:
   1. Пусть \( \angle A = x \), \( \angle B = 2x \), \( \angle C = 3x \).
   2. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):
      \[ x + 2x + 3x = 180^\circ \]
      \[ 6x = 180^\circ \]
      \[ x = 30^\circ \]
   3. Следовательно, \( \angle A = 30^\circ \), \( \angle B = 2 × 30^\circ = 60^\circ \), \( \angle C = 3 × 30^\circ = 90^\circ \).
   4. Так как BM – биссектриса \( \angle ABC \), то \( \angle ABM = \angle MBC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
   5. В треугольнике ABM: \( \angle BAM = 30^\circ \) и \( \angle ABM = 30^\circ \). Значит, треугольник ABM равнобедренный с основанием AM, и \( AM = BM = 6 \).
   6. В треугольнике ABC: \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 30^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \).
   7. Найдем сторону BC, используя тригонометрию:
      \[ \tan A = \frac{BC}{AC} \rightarrow \tan 30^\circ = \frac{BC}{AC} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{AC} \]
      \[ \tan B = \frac{AC}{BC} \rightarrow \tan 60^\circ = \frac{AC}{BC} \rightarrow \sqrt{3} = \frac{AC}{BC} \rightarrow AC = BC × \sqrt{3} \]
   8. Найдем AC:
      \[ AC = AM + MC = 6 + MC \]
      \[ \tan 30^\circ = \frac{BC}{6+MC} \]
      \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{6+MC} \rightarrow BC = \frac{6+MC}{\sqrt{3}} \]
   9. Найдем MC, используя теорему Пифагора в треугольнике ABC:
      \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \]
      \[ (6+MC)^2 = (6+6)^2 - ² \]
      \[ (6+MC)^2 = 12^2 - ² \]
   10. По теореме синусов для треугольника ABM:
       \[ \frac{AM}{\sin(\angle ABM)} = \frac{BM}{\sin(\angle BAM)} \]
       \[ \frac{AM}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\sin(30^\circ)} \]
       \[ AM = 6 \]
   11. По теореме синусов для треугольника MBC:
       \[ \frac{MC}{\sin(\angle MBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BMC)} \]
   12. В треугольнике MBC: \( \angle MBC = 30^\circ \). \( \angle BMC = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \) (Так как \( \angle C = 90^\circ \)).
   13. \( \frac{MC}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(60^\circ)} \)
       \[ MC = BC × \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(60^\circ)} = BC × \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = BC × \frac{1}{\sqrt{3}} \]
   14. В треугольнике ABC:
       \[ \tan(30^\circ) = \frac{BC}{AC} \rightarrow BC = AC × \tan(30^\circ) = AC × \frac{1}{\sqrt{3}} \]
   15. AC = AM + MC = 6 + MC.
   16. \( BC = (6+MC) × \frac{1}{\sqrt{3}} \)
   17. Подставим BC в уравнение для MC:
       \[ MC = \frac{6+MC}{\sqrt{3}} × \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6+MC}{3} \]
       \[ 3MC = 6 + MC \]
       \[ 2MC = 6 \]
       \[ MC = 3 \]
   Ответ: \( MC = 3 \).