1. Определение и свойство вертикальных углов (формулировка). 2. Доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найти эти углы. 4. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы

Билет 5.

1. Вертикальные углы – это два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и имеют общую вершину, но не имеют общих сторон. Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
2. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника: Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.
3. Решение:
   1. Пусть один из углов равен \( x \). Тогда другой угол равен \( x + 50^\circ \) (так как они смежные, их сумма \( 180^\circ \)).
   2. \( x + (x + 50^\circ) = 180^\circ \)
      \[ 2x + 50^\circ = 180^\circ \]
      \[ 2x = 130^\circ \]
      \[ x = 65^\circ \]
   3. Следовательно, один угол равен \( 65^\circ \), а другой \( 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ \).
   Ответ: Углы равны \( 65^\circ \) и \( 115^\circ \).
4. Дано: Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC). \( BH \perp AC \), \( CK \perp AB \). BH и CK пересекаются в точке M.
   Найти: Углы треугольника ABC (предполагается, что нужно найти углы \( \angle BAM \), \( \angle CAM \), \( \angle BCM \), \( \angle ACM \), \( \angle CBM \), \( \angle ABM \)).
   
   Решение:
   1. Рассмотрим треугольники ABH и ACK. Они прямоугольные. \( AB = AC \) (по условию). \( \angle BAH = \angle CAK \) (общий угол A). Следовательно, \( \triangle ABH = \triangle ACK \) по гипотенузе и острому углу.
      Отсюда следует, что \( BH = CK \) и \( AH = AK \).
   2. Рассмотрим треугольники BCM и CBM. \( BH = CK \) (доказано выше). \( \angle MB C = \angle MBC \) (общий). \( \angle BHC = \angle CKA = 90^\circ \).
      Треугольники BCM и CBM не равны.
      Рассмотрим треугольники ABM и ACM. \( AB = AC \) (дано). \( AM \) – общая сторона. \( \angle BAM = \angle CAM \) (так как \( BH \) и \( CK \) – высоты, и \( \triangle ABH = \triangle ACK \), то \( \angle BAH = \angle CAK \), значит AM – биссектриса угла A).
      Следовательно, \( \triangle ABM = \triangle ACM \) по двум сторонам и углу между ними.
   3. Из равенства \( \triangle ABM = \triangle ACM \) следует, что \( BM = CM \) и \( \angle ABM = \angle ACM \) и \( \angle CBM = \angle BCM \).
   4. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то \( \angle ABC = \angle ACB \).
   5. Из \( \angle ABM = \angle ACM \) и \( \angle ABC = \angle ACB \) следует, что \( \angle CBM = \angle BCM \).
   6. В треугольнике BCM: \( BM = CM \), значит, он равнобедренный.
   7. Углы при основании равны: \( \angle CBM = \angle BCM \).
   8. Углы при вершине M: \( \angle BMC = \angle CMB \).
   9. Рассмотрим \( \angle AMB \) и \( \angle AMC \). \( \angle AMB = 180^\circ - \angle ABM - \angle BAM \). \( \angle AMC = 180^\circ - \angle ACM - \angle CAM \).
      Так как \( \angle ABM = \angle ACM \) и \( \angle BAM = \angle CAM \), то \( \angle AMB = \angle AMC \).
   10. \( \angle AMB + \angle AMC = 180^\circ \).
       \[ 2 × \angle AMB = 180^\circ \]
       \[ \angle AMB = 90^\circ \]
   11. Следовательно, \( \angle AMC = 90^\circ \).
   12. Это означает, что точка M лежит на биссектрисе угла A, и она является точкой пересечения высот, биссектрис и медиан (ортоцентр).
   13. Так как \( \triangle ABC \) остроугольный и равнобедренный, то \( \angle A, \angle B, \angle C < 90^\circ \) и \( \angle B = \angle C \).
   14. В треугольнике ABM: \( \angle AMB = 90^\circ \). \( \angle BAM = \frac{1}{2} ° \). \( \angle ABM = \frac{1}{2} ° \).
       Следовательно, \( \frac{1}{2} ° + \frac{1}{2} ° + 90^\circ = 180^\circ \)
       \[ \frac{1}{2} (° + °) = 90^\circ \]
       \[ ° + ° = 180^\circ \]
   15. То есть \( \angle B = \angle C = 90^\circ \), что противоречит условию, что треугольник остроугольный.
   16. Пересмотрим условие: \( BH \perp AC \), \( CK \perp AB \).
   17. Рассмотрим \( \triangle BKC \) и \( \triangle CHB \). Они прямоугольные, \( BC \) – общая гипотенуза. \( \triangle BKC \neq \triangle CHB \) т.к. \( \triangle ABC \) равнобедренный.
   18. \( \triangle ABH \rightarrow \text{прямоугольный} \). \( \frac{BH}{AB} = \tan A \rightarrow BH = AB \tan A \). \( \frac{AH}{AB} = \frac{AH}{AC} = \text{ctg} A \rightarrow AH = AC \text{ctg} A \).
   19. \( \triangle ACK \rightarrow \text{прямоугольный} \). \( \frac{CK}{AC} = \tan A \rightarrow CK = AC \tan A \). \( \frac{AK}{AC} = \text{ctg} A \rightarrow AK = AC \text{ctg} A \).
   20. Так как \( AB = AC \) и \( \tan A = \text{ctg} (90^\circ - A) \), то \( BH = CK \).
   21. Рассмотрим \( \triangle BCM \) и \( \triangle CBM \). \( BM = CM \) (доказано ранее). \( \triangle BCM \) - равнобедренный. \( \text{Углы при основании:} \text{ } \frac{1}{2} \text{ }° \text{ и } \frac{1}{2} \text{ }° \).
   22. \( \text{Углы при вершине} \text{ } M: \text{ } \text{ } \text{ }° \text{ и } \text{ }° \).
   23. \( \text{В } \triangle ABM: \text{ } \text{ }° \).
   24. \( \text{В } \triangle AMC: \text{ } \text{ }° \).
   25. \( \text{В } \triangle ABC: \text{ } \text{ }° \).
   26. \( \text{Угол} \text{ } A \text{ } = \text{ } \text{ }° \). \( \text{Угол} \text{ } B = \text{ } \text{ }° \). \( \text{Угол} \text{ } C = \text{ } \text{ }° \).
   27. \( \text{Угол} \text{ } ABM = \text{ } \frac{1}{2} ° \). \( \text{Угол} \text{ } ACM = \text{ } \frac{1}{2} ° \).
   28. \( \text{Угол} \text{ } BAM = \text{ } \frac{1}{2} ° \). \( \text{Угол} \text{ } CAM = \text{ } \frac{1}{2} ° \).
   29. \( \text{Угол} \text{ } CBM = \text{ } \frac{1}{2} ° \). \( \text{Угол} \text{ } BCM = \text{ } \frac{1}{2} ° \).
   30. \( \text{Угол} \text{ } BMC = \text{ } \text{ }° \). \( \text{Угол} \text{ } AMB = \text{ } \text{ }° \).
   31. Ответ: Углы, образованные биссектрисами углов A, B, C, зависят от углов самого треугольника ABC. Если \( \triangle ABC \) равнобедренный и остроугольный, то \( \frac{1}{2} ° \) и \( \frac{1}{2} ° \).