№1. Окружность вписана в прямоугольный треугольник. Периметр треугольника равен 26 см. Найдите радиус окружности.

Решение №1:

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

r = (a + b - c) / 2

где a и b — катеты, а c — гипотенуза.

Нам дан периметр треугольника, который равен 26 см. Периметр — это сумма длин всех сторон:

P = a + b + c

Мы знаем, что P = 26 см.

Из формулы радиуса вписанной окружности, можно выразить сумму катетов:

a + b = 2r + c

Теперь подставим это выражение в формулу периметра:

26 = (2r + c) + c

26 = 2r + 2c

Разделим обе части уравнения на 2:

13 = r + c

Из этого уравнения мы можем выразить гипотенузу:

c = 13 - r

Подставим это выражение для c обратно в формулу радиуса:

r = (a + b - (13 - r)) / 2

2r = a + b - 13 + r

r = a + b - 13

Но мы также знаем, что a + b = 26 - c. Подставим это:

r = (26 - c) - 13

r = 13 - c

Мы получили два выражения для c: c = 13 - r и r = 13 - c. Эти выражения эквивалентны.

Чтобы найти конкретное значение радиуса, нам нужно использовать тот факт, что периметр равен 26. Также нам понадобится формула, связывающая периметр и радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника, которая через полупериметр s выглядит так: r = s - c. Полупериметр s = P / 2 = 26 / 2 = 13.

Тогда r = 13 - c. Это то же самое, что мы получили ранее.

Еще одна формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

r = (P - 2c) / 2

Где P - периметр, c - гипотенуза.

r = (26 - 2c) / 2

r = 13 - c

c = 13 - r

У нас есть рисунок, на котором обозначены стороны 4, 7 и катет, обозначенный как 'b', а гипотенуза как 'c'. Сторона 4 и 7, вероятно, являются отрезками, на которые делит касательная точка стороны. В прямоугольном треугольнике, если из вершины прямого угла провести касательные к вписанной окружности, то образуется квадрат со стороной, равной радиусу окружности. То есть, если обозначить вершины треугольника как A, B, C, где C - прямой угол, то отрезки от C до точек касания равны r. Отрезки от A до точек касания равны a - r, а от B до точек касания равны b - r.

Однако, на данном рисунке стороны треугольника обозначены как 4, 7 и 'b', и вписанная окружность. Центр окружности обозначен как 'O'. Радиус от 'O' к стороне, где лежит отрезок 4, обозначен как 4. Радиус от 'O' к стороне, где лежит отрезок 7, обозначен как 7. Это возможно только если 4 и 7 являются длинами отрезков от вершин до точек касания. Если это так, то стороны треугольника равны:

Катет 1 = 4 + r

Катет 2 = 7 + r

Гипотенуза = 4 + 7 = 11

Теперь используем теорему Пифагора: (4 + r)^2 + (7 + r)^2 = 11^2

16 + 8r + r^2 + 49 + 14r + r^2 = 121

2r^2 + 22r + 65 = 121

2r^2 + 22r - 56 = 0

r^2 + 11r - 28 = 0

Дискриминант D = 11^2 - 4 * 1 * (-28) = 121 + 112 = 233

r = (-11 ± sqrt(233)) / 2. Это не дает целого числа, значит, предположение о том, что 4 и 7 - отрезки от вершин до точек касания, неверно, либо число 11 не гипотенуза.

Вернемся к формуле периметра: P = a + b + c = 26.

Используем формулу для радиуса вписанной окружности:

r = (a + b - c) / 2

Умножим на 2:

2r = a + b - c

Из периметра: a + b = 26 - c

Подставим это в предыдущее уравнение:

2r = (26 - c) - c

2r = 26 - 2c

Разделим на 2:

r = 13 - c

Это означает, что c = 13 - r. Это соотношение верно для любого прямоугольного треугольника.

На рисунке стороны треугольника обозначены как 4, 7, и неизвестный катет 'b'. Гипотенуза не обозначена числом. Однако, если принять, что 4 и 7 - это катеты, тогда гипотенуза c = sqrt(4^2 + 7^2) = sqrt(16 + 49) = sqrt(65).

Периметр в этом случае будет 4 + 7 + sqrt(65) ≈ 11 + 8.06 = 19.06, что не равно 26.

Если предположить, что 4 - один катет, а 7 - гипотенуза, то второй катет b = sqrt(7^2 - 4^2) = sqrt(49 - 16) = sqrt(33).

Периметр в этом случае будет 4 + sqrt(33) + 7 = 11 + sqrt(33) ≈ 11 + 5.74 = 16.74, что не равно 26.

Если предположить, что 7 - один катет, а 4 - гипотенуза, это невозможно, так как катет не может быть больше гипотенузы.

Рассмотрим рисунок внимательнее. Цифры 4 и 7 на рисунке, скорее всего, обозначают не длины сторон, а отрезки, на которые делятся стороны точками касания вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике, если из вершины прямого угла провести касательные к вписанной окружности, образуется квадрат со стороной r. Тогда, если вершины треугольника A, B, C (C - прямой угол), и точки касания на AC, BC, AB - M, N, K соответственно. Тогда CM = CN = r. AM = AK, BN = BK. На рисунке, если предположить, что 4 и 7 - это отрезки от вершин острых углов до точки касания на гипотенузе, то стороны треугольника будут:

Катет 1 = r + отрезок от C до касательной на катете.

Катет 2 = r + другой отрезок от C до касательной на катете.

Однако, на рисунке 4 и 7 соединены с центром окружности, что указывает на радиус. Но радиусы, проведенные к сторонам, перпендикулярны этим сторонам. На рисунке 4 и 7 обозначены как длины отрезков от вершин B и A до центра окружности O. Это также не является радиусом вписанной окружности.

Предположим, что 4 и 7 - это длины сторон треугольника. Так как треугольник прямоугольный, и на рисунке обозначены стороны 4 и 7, а также не обозначена гипотенуза, то, скорее всего, 4 и 7 - это катеты.

Если катеты a = 4 и b = 7, то гипотенуза c = √(4^2 + 7^2) = √(16 + 49) = √(65).

Периметр P = 4 + 7 + √(65) = 11 + √(65).

Это не равно 26.

Давайте воспользуемся подсказкой №1: r = (a + b - c) / 2 и P = a + b + c = 26.

Из P = a + b + c, мы имеем a + b = 26 - c.

Подставляем в формулу радиуса:

r = ((26 - c) - c) / 2

r = (26 - 2c) / 2

r = 13 - c

Чтобы найти r, нам нужно найти c (гипотенузу).

Если на рисунке 4 и 7 - это катеты, то c = √(4^2 + 7^2) = √(65). Тогда r = 13 - √(65). Это некрасивое число.

Рассмотрим другой вариант. Если 4 - это один катет, а 7 - это гипотенуза, то второй катет b = √(7^2 - 4^2) = √(49 - 16) = √(33). Периметр P = 4 + √(33) + 7 = 11 + √(33). Это не 26.

Есть вероятность, что на рисунке 4 и 7 — это отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу. Тогда гипотенуза c = 4 + 7 = 11.

Тогда мы имеем: r = 13 - c = 13 - 11 = 2.

Проверим, возможно ли это. Если r = 2, то катеты a и b должны быть такими, что a + b = 26 - 11 = 15.

Также должно выполняться теорема Пифагора: a^2 + b^2 = 11^2 = 121.

Используем формулу радиуса: r = (a + b - c) / 2. Если r = 2, c = 11, то a + b = 2r + c = 2*2 + 11 = 4 + 11 = 15.

Теперь проверим, существуют ли такие a и b, что a + b = 15 и a^2 + b^2 = 121.

Из a + b = 15, выразим b = 15 - a.

Подставим в a^2 + b^2 = 121:

a^2 + (15 - a)^2 = 121

a^2 + 225 - 30a + a^2 = 121

2a^2 - 30a + 225 - 121 = 0

2a^2 - 30a + 104 = 0

a^2 - 15a + 52 = 0

Найдем дискриминант: D = (-15)^2 - 4 * 1 * 52 = 225 - 208 = 17.

Так как дискриминант положительный, но не является полным квадратом, то стороны не будут целыми числами. Но задача, скорее всего, предполагает целочисленные ответы.

Вернемся к рисунку. Если 4 и 7 — это отрезки, на которые точки касания делят катеты, исходящие из острого угла. Пусть это угол A. Тогда стороны, исходящие из A, это катет b и гипотенуза c. Точка касания на катете b делит его на отрезки r и 7. Точка касания на гипотенузе делит ее на отрезки 4 и x. Точка касания на катете a делит его на отрезки r и y.

Если 4 и 7 — это отрезки, на которые точка касания делит стороны, исходящие из вершины прямого угла (то есть катеты), то эти отрезки равны радиусу окружности. Значит, 4 = r и 7 = r. Это невозможно.

Если 4 и 7 — это отрезки, на которые точки касания делят стороны, то есть:

Катет 1 = x + r

Катет 2 = y + r

Гипотенуза = x + y

Где x и y — отрезки от вершин острых углов до точек касания.

Если на рисунке 4 и 7 — это длины отрезков от вершин острого угла до точки касания на гипотенузе, то гипотенуза c = 4 + 7 = 11.

У нас есть: P = a + b + c = 26. Если c = 11, то a + b = 26 - 11 = 15.

Используя формулу радиуса: r = (a + b - c) / 2 = (15 - 11) / 2 = 4 / 2 = 2.

Следовательно, радиус вписанной окружности равен 2 см.

Проверим: a + b = 15, c = 11, r = 2.

Теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2 = 11^2 = 121.

Из a + b = 15, b = 15 - a.

a^2 + (15 - a)^2 = 121

a^2 + 225 - 30a + a^2 = 121

2a^2 - 30a + 104 = 0

a^2 - 15a + 52 = 0

Корни уравнения: a = (15 ± √(225 - 4*52)) / 2 = (15 ± √(225 - 208)) / 2 = (15 ± √(17)) / 2.

Значит, стороны не целые, но это не противоречит условию задачи. Число 4 и 7 на рисунке, скорее всего, означают отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу.

Ответ: 2 см