1. На рисунке 1 AD = DC; ED = DF; ∠1 = ∠2 = 90°. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ADE и CDF.
2. AD = DC (по условию).
3. ED = DF (по условию).
4. ∠1 = ∠2 = 90° (по условию).
5. По двум сторонам и углу между ними, треугольники ADE и CDF равны (по первому признаку равенства треугольников).
6. Следовательно, AE = CF.
7. Рассмотрим треугольники ABE и CBF.
8. AB = CB (по условию).
9. AE = CF (доказано выше).
10. ∠AEB = ∠CFB (по условию ∠1 = ∠2 = 90°, значит, углы смежные с ними равны 180°-90°=90°, но из рисунка видно, что ∠1 и ∠2 — это углы при основании, а не углы при вершине. Уточним: ∠AED = ∠CFD = 90°).
11. ∠1 и ∠2 являются частями углов при основании, что не позволяет напрямую использовать равенство углов.
12. Пересмотрим условие: ∠1 = ∠2 = 90°. Это означает, что ED ⊥ AC и DF ⊥ AC.
13. Рассмотрим треугольники ADE и CDF.
14. AD = DC (по условию).
15. ED = DF (по условию).
16. ∠ADE = ∠CDF (вертикальные углы).
17. По двум сторонам и углу между ними, треугольники ADE и CDF равны.
18. Следовательно, AE = CF и ∠DAE = ∠DCF.
19. Рассмотрим треугольник ABC.
20. Так как ∠DAE = ∠DCF, то это углы при основании треугольника ABC.
21. Если углы при основании треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказано.