1. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Пусть $$r$$ - радиус окружности, $$AC = r = 75$$. Отрезок $$AB = AC + CB = 75 + 10 = 85$$. Пусть $$BT$$ - касательная к окружности, где $$T$$ - точка касания. Тогда $$AT \bot BT$$. В прямоугольном треугольнике $$ATB$$, $$AB^2 = AT^2 + BT^2$$. Следовательно, $$BT^2 = AB^2 - AT^2 = 85^2 - 75^2 = (85-75)(85+75) = 10 \times 160 = 1600$$. $$BT = \sqrt{1600} = 40$$.