1. На координатной плоскости постройте отрезок AB и прямую PK, если A(0; 6), B(5; 1), P(-8; −1), K(4; 5). Запишите координаты точек пересечения прямой PK с построенным отрезком и осями координат.

Решение:

1. Построение отрезка AB: Отмечаем точки A(0; 6) и B(5; 1) на координатной плоскости и соединяем их отрезком.

2. Построение прямой PK: Отмечаем точки P(-8; −1) и K(4; 5) на координатной плоскости и проводим через них прямую.

3. Нахождение точек пересечения:

• Пересечение прямой PK с осью y (ординат): На оси y абсцисса равна 0 (x=0). Уравнение прямой, проходящей через точки P(-8; -1) и K(4; 5), можно найти, используя формулу углового коэффициента: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - (-1)}{4 - (-8)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \). Уравнение прямой: \( y - y_1 = m(x - x_1) \) → \( y - 5 = \frac{1}{2}(x - 4) \) → \( y = \frac{1}{2}x - 2 + 5 \) → \( y = \frac{1}{2}x + 3 \). При \( x = 0 \), \( y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3 \). Точка пересечения с осью y: (0; 3).
• Пересечение прямой PK с осью x (абсцисс): На оси x ордината равна 0 (y=0). \( 0 = \frac{1}{2}x + 3 \) → \( \frac{1}{2}x = -3 \) → \( x = -6 \). Точка пересечения с осью x: (-6; 0).
• Пересечение прямой PK с отрезком AB: Отрезок AB задан точками A(0; 6) и B(5; 1). Найдем уравнение прямой AB. Угловой коэффициент: \( m = \frac{1 - 6}{5 - 0} = \frac{-5}{5} = -1 \). Уравнение прямой: \( y - 6 = -1(x - 0) \) → \( y = -x + 6 \). Теперь приравняем уравнения прямой PK и AB: \( \frac{1}{2}x + 3 = -x + 6 \). Умножим обе части на 2: \( x + 6 = -2x + 12 \) → \( 3x = 6 \) → \( x = 2 \). Подставим \( x = 2 \) в уравнение прямой AB: \( y = -2 + 6 = 4 \). Точка пересечения с отрезком AB: (2; 4).

Ответ: Точки пересечения: с осью y — (0; 3); с осью x — (-6; 0); с отрезком AB — (2; 4).