1. Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (теорема о внешнем угле треугольника).

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Доказательство теоремы о внешнем угле треугольника

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle BCD \) — внешний угол при вершине \( C \).

Доказать: \( \angle BCD = \angle BAC + \angle ABC \).

Доказательство:

1. Угол \( \angle BCD \) и угол \( \angle ACB \) — смежные. Их сумма равна \( 180^{\circ} \):
   
   \[ \angle BCD + \angle ACB = 180^{\circ} \]
2. Сумма углов треугольника \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \):
   
   \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \]
3. Выразим \( \angle ACB \) из второго равенства:
   
   \[ \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC \]
4. Подставим выражение для \( \angle ACB \) в первое равенство:
   
   \[ \angle BCD + (180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC) = 180^{\circ} \]
5. Раскроем скобки и упростим:
   
   \[ \angle BCD + 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} \]
   \[ \angle BCD = \angle BAC + \angle ABC \]

Теорема доказана.