1) Докажите, что выражение (7х⁶ - 4x² - 5) - (8x - x² - 9) + (3x² + 8x) принимает положительные значения при любых значениях х. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х?

1. Доказательство и нахождение наименьшего значения выражения

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\( (7x^6 - 4x^2 - 5) - (8x - x^2 - 9) + (3x^2 + 8x) \)

\( = 7x^6 - 4x^2 - 5 - 8x + x^2 + 9 + 3x^2 + 8x \)

\( = 7x^6 + (-4x^2 + x^2 + 3x^2) + (-8x + 8x) + (-5 + 9) \)

\( = 7x^6 + 0x^2 + 0x + 4 \)

\( = 7x^6 + 4 \)

2. Проанализируем полученное выражение \( 7x^6 + 4 \).

Любая степень с чётным показателем (в данном случае \( x^6 \)) неотрицательна, то есть \( x^6 ≥ 0 \) для любого действительного \( x \).

Следовательно, \( 7x^6 ≥ 0 \).

Прибавляя 4, получаем \( 7x^6 + 4 ≥ 4 \).

3. Таким образом, выражение \( 7x^6 + 4 \) всегда больше или равно 4, что означает, что оно принимает только положительные значения.
4. Наименьшее значение выражения достигается, когда \( x^6 \) равно своему наименьшему возможному значению, то есть 0. Это происходит при \( x = 0 \).
5. Наименьшее значение выражения: \( 7 \cdot 0^6 + 4 = 0 + 4 = 4 \).

Ответ: Выражение принимает положительные значения. Наименьшее значение равно 4 и достигается при x = 0.