1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, если катет в 2 раза меньше гипотенузы.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть катет BC в 2 раза меньше гипотенузы AB, то есть \( BC = \frac{1}{2} AB \).

Вспомним определение синуса угла в прямоугольном треугольнике: \( \sin(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \).

Подставим данное условие: \( \sin(\angle A) = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2} \).

Так как \( \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \), то \( \angle A = 30^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Таким образом, в прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, если катет в 2 раза меньше гипотенузы.

Ответ: доказано.