1. Диагональ прямоугольника образует угол 65° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольник, образованный стороной прямоугольника, половиной диагонали и другой половиной диагонали. Пусть угол между диагональю и стороной равен \( 65^{\circ} \).

В прямоугольнике углы между диагоналями могут быть острыми или тупыми. Если угол между стороной и диагональю равен \( 65^{\circ} \), то другой угол между этой же диагональю и другой стороной будет \( 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \).

Угол между диагоналями будет равен \( 180^{\circ} - (65^{\circ} + 65^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \) (это острый угол, так как сумма углов в треугольнике 180°, а углы при основании равны) или \( 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \) (тупой угол).

Нам нужен острый угол.

Другой способ: угол между диагоналями равен \( 2 \cdot (90^{\circ} - 65^{\circ}) = 2 \cdot 25^{\circ} = 50^{\circ} \).

Ответ: 50°.