1) Дайте определение секущей и касательной к окружности. Сформулируйте свойство касательной к окружности.

Решение:

Секущая — это прямая, которая имеет с окружностью две общие точки.

Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.

Свойство касательной: Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство: Пусть дана окружность с центром O и касательная AB, точка касания — K. Радиус OK проведён в точку касания. Предположим, что радиус OK не перпендикулярен касательной AB. Тогда существует другая точка M на прямой AB такая, что OM перпендикулярно AB. В этом случае OM является катетом прямоугольного треугольника OMK, а OK — гипотенузой. Следовательно, OM < OK. Но OM — это расстояние от центра окружности до прямой AB. Если OM < OK, то точка M находится внутри окружности, что противоречит определению касательной (касательная имеет только одну общую точку с окружностью). Следовательно, наше предположение неверно, и радиус OK перпендикулярен касательной AB.

Ответ: Даны определения секущей и касательной. Сформулировано и доказано свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.