1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а его медиана, проведённая к основанию, равна 5 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

Решение:

1. Найдём площадь и периметр равнобедренного треугольника.

Пусть \( ABC \) — равнобедренный треугольник с боковой стороной \( AB = BC = 13 \) см. \( BM \) — медиана, проведённая к основанию \( AC \). По условию \( BM = 5 \) см.

Так как \( BM \) — медиана в равнобедренном треугольнике, она является и высотой. Значит, \( \triangle AMB \) — прямоугольный.

1. Найдём половину основания \( AM \):
   По теореме Пифагора в \( \triangle AMB \):
   \[ AM^2 = AB^2 - BM^2 \]
   \[ AM^2 = 13^2 - 5^2 \]
   \[ AM^2 = 169 - 25 \]
   \[ AM^2 = 144 \]
   \[ AM = \sqrt{144} = 12 \] см.
2. Найдём основание \( AC \):
   \[ AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 12 = 24 \] см.
3. Найдём площадь треугольника:
   \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM \]
   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 \]
   \[ S = 12 \cdot 5 = 60 \] см².
4. Найдём периметр треугольника:
   \[ P = AB + BC + AC \]
   \[ P = 13 + 13 + 24 \]
   \[ P = 26 + 24 = 50 \] см.

Ответ: Площадь треугольника равна 60 см², периметр равен 50 см.