1. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7:5, считая от вершины треугольника. Найти стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Сторона AC — основание.

Пусть точка касания вписанной окружности делит боковую сторону AB в отношении 7:5, считая от вершины A. Обозначим точку касания как D.

Тогда AD = 7x и DB = 5x. Вся боковая сторона AB = AD + DB = 7x + 5x = 12x.

Так как треугольник равнобедренный, AB = BC = 12x.

Периметр треугольника равен 68 см: AB + BC + AC = 68.

Известно, что отрезки касательных, проведенные из одной вершины, равны. Поэтому:

• AD = AK = 7x (где K — точка касания на AC)
• DB = BE = 5x (где E — точка касания на BC)

Основание AC = AK + KC. Так как KC = KE (отрезки касательных из C), а KE = BE = 5x (поскольку BC = 12x, а BE = 5x, то EC = BC - BE = 12x - 5x = 7x, и KC = 7x).

AC = 7x + 7x = 14x.

Теперь подставим длины сторон в уравнение периметра:

• 12x + 12x + 14x = 68
• 38x = 68
• x = 68 / 38 = 34 / 19

Найдем длины сторон:

• Боковая сторона AB = BC = 12x = 12 * (34 / 19) = 408 / 19 см.
• Основание AC = 14x = 14 * (34 / 19) = 476 / 19 см.

Финальный ответ:

Ответ: Стороны треугольника равны 408/19 см, 408/19 см и 476/19 см.