№1. b) Вычислить sin a, tga и cos 2a, если cos a = -12/13 и π ≤ a ≤ 3π/2.

Решение:

Дан косинус угла \( \alpha \), \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \). Угол \( \alpha \) находится в третьей четверти \( \pi \le \alpha \le \frac{3\pi}{2} \), где \( \sin \alpha < 0 \) и \( \text{tg} \alpha > 0 \).

1. Вычислим \( \sin \alpha \):
   Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
   \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left( -\frac{12}{13} \right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \]
   \[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} \] (поскольку \( \alpha \) в третьей четверти, \( \sin \alpha < 0 \)).
2. Вычислим \( \text{tg} \alpha \):
   \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \]
3. Вычислим \( \cos 2\alpha \):
   Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \).
   \[ \cos 2\alpha = 2\left( -\frac{12}{13} \right)^2 - 1 = 2\left( \frac{144}{169} \right) - 1 = \frac{288}{169} - 1 = \frac{288 - 169}{169} = \frac{119}{169} \]

Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \), \( \text{tg} \alpha = \frac{5}{12} \), \( \cos 2\alpha = \frac{119}{169} \).