№1. a) Вычислить sin a, tga и cos 2a, если cos a = 8/17 и 0 ≤ a ≤ π/2.

Решение:

Дан косинус угла \( \alpha \), \( \cos \alpha = \frac{8}{17} \). Угол \( \alpha \) находится в первой четверти \( 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \), где все тригонометрические функции положительны.

1. Вычислим \( \sin \alpha \):
   Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
   \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{8}{17} \right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} \]
   \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \] (поскольку \( \alpha \) в первой четверти, \( \sin \alpha > 0 \)).
2. Вычислим \( \text{tg} \alpha \):
   \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} = \frac{15}{8} \]
3. Вычислим \( \cos 2\alpha \):
   Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \).
   \[ \cos 2\alpha = 2\left( \frac{8}{17} \right)^2 - 1 = 2\left( \frac{64}{289} \right) - 1 = \frac{128}{289} - 1 = \frac{128 - 289}{289} = -\frac{161}{289} \]

Ответ: \( \sin \alpha = \frac{15}{17} \), \( \text{tg} \alpha = \frac{15}{8} \), \( \cos 2\alpha = -\frac{161}{289} \).