1. А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости а; АС и BD – перпендикулярны на эту плоскость; АВ = 20 см, АС = 15 см, BD = 15 см. Вычислить расстояние между точками С и Д.

Решение:

Так как AC и BD перпендикулярны плоскости α, то AC || BD. Прямые AC и BD параллельны, так как обе перпендикулярны одной и той же плоскости. Четырехугольник ABDC является прямоугольной трапецией (или прямоугольником, если AC=BD).

Чтобы найти расстояние между С и Д, рассмотрим прямоугольный треугольник CBD (или ADC).

Проведем прямую CE параллельно AB, так что AECB будет прямоугольником. Тогда CE = AB = 20 см, и AE = CB.

Треугольник CED будет прямоугольным. CD = √ (CE² + ED²).

ED = BD - AE. Так как AECB - прямоугольник, AE = CB. Но нам неизвестно CB.

Рассмотрим другую проекцию: можно использовать теорему о трех перпендикулярах.

Проведем через точку А прямую, параллельную CD. Пусть эта прямая пересекает BD в точке E. Тогда ACE D - параллелограмм. Если AC = BD, то это прямоугольник, и CD = AB = 20 см. В данном случае AC = 15, BD = 15. Следовательно, AC || BD и AC = BD. Четырехугольник ABDC - прямоугольник. Следовательно, CD = AB.

CD = AB = 20 см.

Ответ: 20 см