1.54. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно l, одновременно навстречу друг другу начали двигаться два тела: первое со скоростью v₁, второе со скоростью v₂. Определить время и место их встречи. Решить задачу аналитически и графически.

Решение:

Аналитическое решение:

Пусть \( t \) — время до встречи тел, а \( S_1 \) и \( S_2 \) — расстояния, пройденные телами до встречи.

Время движения обоих тел до встречи одинаковое, так как они начали движение одновременно.

Расстояние, пройденное первым телом: \( S_1 = v_1 \times t \).

Расстояние, пройденное вторым телом: \( S_2 = v_2 \times t \).

Общее расстояние между пунктами А и В равно \( l \). Когда тела встретятся, сумма пройденных ими расстояний будет равна \( l \):

\[ S_1 + S_2 = l \]

Подставляем выражения для \( S_1 \) и \( S_2 \):

\[ v_1 t + v_2 t = l \]

Выносим \( t \) за скобки:

\[ t(v_1 + v_2) = l \]

Находим время встречи:

\[ t = \frac{l}{v_1 + v_2} \]

Место встречи можно определить, вычислив расстояние от пункта А (или В). Например, расстояние от пункта А:

\[ S_1 = v_1 t = v_1 \frac{l}{v_1 + v_2} = \frac{v_1 l}{v_1 + v_2} \]

Расстояние от пункта В:

\[ S_2 = v_2 t = v_2 \frac{l}{v_1 + v_2} = \frac{v_2 l}{v_1 + v_2} \]

Графическое решение:

Построим графики движения тел в системе координат «расстояние — время».

Для первого тела (из пункта А): \( S(t) = v_1 t \). Это прямая, исходящая из начала координат (0,0) с угловым коэффициентом \( v_1 \).

Для второго тела (из пункта В): \( S(t) = l - v_2 t \). Это прямая, начинающаяся в точке \( (0, l) \) (при \( t=0 \), \( S=l \)) и имеющая отрицательный угловой коэффициент \( -v_2 \).

Точка пересечения этих двух графиков даст время и место встречи.

Координата \( t \) точки пересечения — это время встречи. Координата \( S \) точки пересечения — это расстояние от пункта А, где произойдет встреча.

Ответ: Время встречи \( t = \frac{l}{v_1 + v_2} \). Место встречи: на расстоянии \( S_1 = \frac{v_1 l}{v_1 + v_2} \) от пункта А.