1.(46) Решите неравенства a) 7 - 2x > 6 b) x² - 6x + 8 ≤ 0 c) x² < 4 d) (x - 3)(x - 1) ≤ 0

Решение:

1. a) 7 - 2x > 6
   • Вычтем 7 из обеих частей:

     \[ -2x > 6 - 7 \]

   • \[ -2x > -1 \]

   • Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства:

     \[ x < \frac{-1}{-2} \]

   • \[ x < 0.5 \]

2. b) x² - 6x + 8 ≤ 0
   • Найдем корни квадратного уравнения x² - 6x + 8 = 0. Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac.

     \[ D = (-6)² - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]

   • \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2} \]

   • \[ x_1 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

   • \[ x_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

   • Парабола y = x² - 6x + 8 ветвями вверх, поэтому неравенство x² - 6x + 8 ≤ 0 выполняется между корнями, включая их.

     \[ 2 \le x \le 4 \]

3. c) x² < 4
   • Вычтем 4 из обеих частей:

     \[ x² - 4 < 0 \]

   • Разложим по формуле разности квадратов (a² - b² = (a - b)(a + b)):

     \[ (x - 2)(x + 2) < 0 \]

   • Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при:

     \[ -2 < x < 2 \]

4. d) (x - 3)(x - 1) ≤ 0
   • Корни уравнения (x - 3)(x - 1) = 0 это x = 1 и x = 3. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при:

     \[ 1 \le x \le 3 \]

Ответ: a) x < 0.5, b) [2; 4], c) (-2; 2), d) [1; 3]