1.348. На какое число заканчивается 100! ? Почему? На сколько нулей заканчивается число 10! ? число 13! ? число 15! ? число 20! ? число 25! ? число 100! ?

Конечные нули возникают из множителей 10, то есть из пар множителей 2 и 5. В факториалах двоек больше, поэтому считаем множители 5.

В \(100!\) число множителей 5 равно \(\lfloor100/5\rfloor+\lfloor100/25\rfloor=20+4=24\). Следовательно, число заканчивается 24 нулями, а последняя цифра — 0.

Для остальных факториалов считаем аналогично:

• \(10!\): \(\lfloor10/5\rfloor=2\) нуля;
• \(13!\): \(\lfloor13/5\rfloor=2\) нуля;
• \(15!\): \(\lfloor15/5\rfloor=3\) нуля;
• \(20!\): \(\lfloor20/5\rfloor=4\) нуля;
• \(25!\): \(\lfloor25/5\rfloor+\lfloor25/25\rfloor=5+1=6\) нулей;
• \(100!\): 24 нуля.

Ответ: \(100!\) заканчивается цифрой 0 (на самом деле — 24 нулями); в порядке перечисления факториалы заканчиваются на 2, 2, 3, 4, 6 и 24 нуля.