№1. Решите уравнения: 1) 4x²+9x=0 2) 3x²-7x=0 3) -x-2+3(x-3)=3(4-x)-3 4) x²+3x=4 5) 9x⁴-9x²+2=0 6) 1/(x-2)² - 1/(x-2) - 6 = 0. (x²-2x)²-3=2(x²-2x) 7)

Решим уравнения:

1) $$4x^2 + 9x = 0$$

Вынесем x за скобки:

$$x(4x + 9) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x_1 = 0$$

$$4x + 9 = 0$$

$$4x = -9$$

$$x_2 = -\frac{9}{4} = -2.25$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = -2.25$$

2) $$3x^2 - 7x = 0$$

Вынесем x за скобки:

$$x(3x - 7) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x_1 = 0$$

$$3x - 7 = 0$$

$$3x = 7$$

$$x_2 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 2\frac{1}{3}$$

3) $$-x - 2 + 3(x - 3) = 3(4 - x) - 3$$

Раскроем скобки:

$$-x - 2 + 3x - 9 = 12 - 3x - 3$$

Приведем подобные члены:

$$2x - 11 = 9 - 3x$$

Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа в другую:

$$2x + 3x = 9 + 11$$

$$5x = 20$$

$$x = \frac{20}{5}$$

$$x = 4$$

Ответ: $$x = 4$$

4) $$x^2 + 3x = 4$$

Перенесем 4 в левую часть:

$$x^2 + 3x - 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -4$$

5) $$9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$$

Сделаем замену $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$9t^2 - 9t + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$

Вернемся к замене:

$$x^2 = \frac{2}{3}$$

$$x_1 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

$$x_2 = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$

$$x^2 = \frac{1}{3}$$

$$x_3 = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$x_4 = -\sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{6}}{3}, x_3 = \frac{\sqrt{3}}{3}, x_4 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

6)$$\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0$$

Обозначим $$t = \frac{1}{x-2}$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - t - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Вернемся к замене:

$$\frac{1}{x-2} = 3$$

$$1 = 3(x-2)$$\

$$1 = 3x - 6$$

$$3x = 7$$

$$x_1 = \frac{7}{3}$$\

$$\frac{1}{x-2} = -2$$

$$1 = -2(x-2)$$\

$$1 = -2x + 4$$

$$2x = 3$$

$$x_2 = \frac{3}{2}$$\

Ответ: $$x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = \frac{3}{2}$$

7)$$(x^2 - 2x)^2 - 3 = 2(x^2 - 2x)$$

Сделаем замену $$t = x^2 - 2x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 3 = 2t$$

$$t^2 - 2t - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Вернемся к замене:

$$x^2 - 2x = 3$$

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$x^2 - 2x = -1$$

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x-1)^2 = 0$$

$$x_3 = 1$$

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -1, x_3 = 1$$