№2 Найти угол между касательными.

Пусть данный угол между касательными равен \(\alpha\). Точка O - центр окружности, а точки касания - B и C. OA - биссектриса угла \(\angle BAC\). Радиусы OB и OC перпендикулярны касательным AB и AC соответственно. Значит, \(\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ\). Рассмотрим четырехугольник OBAC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Следовательно: \(\angle OBA + \angle OCA + \angle BOC + \angle BAC = 360^\circ\) \(90^\circ + 90^\circ + \angle BOC + \angle BAC = 360^\circ\) \(180^\circ + \angle BOC + \angle BAC = 360^\circ\) \(\angle BOC = 360^\circ - 180^\circ - \angle BAC\) \(\angle BOC = 180^\circ - \angle BAC\) По теореме о касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки AB и AC равны, т.е., \(AB = AC\). Углы \(\angle BOC\) и \(\angle BAC\) являются смежными углами, сумма которых равна 180 градусов. По условию, \(OB = 4.5\) и \(OA = 4.5 + 9 = 13.5\). Следовательно, \(\frac{OB}{OA} = \frac{4.5}{13.5} = \frac{1}{3}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OBA\). В нем: \(\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{OB}{OA} = \frac{1}{3}\) Теперь найдем \(\frac{\alpha}{2}\): \(\frac{\alpha}{2} = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 19.47^\circ\) Тогда угол \(\alpha\) равен: \(\alpha = 2 \cdot \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 2 \cdot 19.47^\circ \approx 38.94^\circ\) Таким образом, угол между касательными примерно равен 38.94 градуса. Ответ: ≈38.94°