№7. Найти: AC, если BD = 15.

ABCD - четырехугольник, в котором AB = 13, BC = 15, AD = 14 и BD = 15. Найти AC.

Рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике известны все три стороны, поэтому мы можем найти косинус угла A:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$$ $$15^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos A$$ $$225 = 169 + 196 - 364 \cdot \cos A$$ $$364 \cdot \cos A = 169 + 196 - 225$$ $$364 \cdot \cos A = 140$$ $$\cos A = \frac{140}{364} = \frac{5}{13}$$

Теперь рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике мы знаем две стороны (AB = 13 и AD = 14) и косинус угла A. Поэтому можем найти сторону AC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$

Предположим, что ABCD — трапеция. Тогда BC = AD = 14. Но из условия BC = 15, следовательно, ABCD не трапеция, и вычислить AC невозможно.