№6. Найти: ∠B и R(радиус описанной окружности)

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно,

$$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$

По теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin B} = 2R$$ $$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{\sin B} = 2R$$

По теореме косинусов:

$$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 cdot AC \cdot AB \cdot \cos A$$ $$(\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + AB^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot AB \cdot \cos 60^{\circ}$$ $$3 = 2 + AB^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot AB \cdot \frac{1}{2}$$ $$AB^2 - \sqrt{2}AB - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 2 + 4 = 6$$ $$AB_{1,2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2}$$

Т.к. длина стороны не может быть отрицательной, то

$$AB = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$$

По теореме синусов:

$$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}}{\sin 90^{\circ}} = 2R$$ $$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} = 2R$$ $$R = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$$ $$\sin B = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 60^{\circ}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$B = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = 45^{\circ}$$

Ответ: B = 45°; R = $$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$