№3 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

1. Шаг 1: Анализ структуры «змейки»:

   Заметим, что длина каждого следующего звена увеличивается на одинаковое значение. На рисунке последнее звено равно 10, а перед ним 8, перед ним 6 и т.д.

2. Шаг 2: Найдем закономерность:

   Разница между соседними звеньями равна 2. Звенья образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 2.

3. Шаг 3: Вычислим сумму арифметической прогрессии:

   Пусть последнее звено равно \( a_n = 120 \). Тогда первое звено равно \( a_1 = 2 \) (так как состоит из двух звеньев по 1 клетке).

   Разность прогрессии \( d = 2 \).

   Найдем количество звеньев n:
   \[a_n = a_1 + (n - 1)d\] \[120 = 2 + (n - 1)2\] \[118 = (n - 1)2\] \[59 = n - 1\] \[n = 60\]
   Найдем сумму (длину ломаной):
   \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] \[S_{60} = \frac{2 + 120}{2} \cdot 60\] \[S_{60} = \frac{122}{2} \cdot 60\] \[S_{60} = 61 \cdot 60 = 3660\]

Ответ: 3660