№ 5. В треугольнике DAB известно, что ∠A=90°, ∠D=30°, отрезок ВТ- биссектриса треугольника. Найдите катет DA, если DT=8 см.

Ответ: DA = 8√3 см

1. Найдем угол ∠B в треугольнике DAB: \(∠B = 180° - ∠A - ∠D = 180° - 90° - 30° = 60°\).
2. Так как BT - биссектриса, то угол ∠DBT равен половине угла ∠B: \(∠DBT = \frac{1}{2} ∠B = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\).
3. Рассмотрим треугольник DBT. В нём ∠DBT = 30° и ∠D = 30°, значит, треугольник DBT равнобедренный, и BT = DT = 8 см.
4. В треугольнике DAB рассмотрим тангенс угла D: \[\tan(∠D) = \frac{DA}{AT}\] \(DA = AT \cdot \tan(∠D)\)
5. Найдем AT: Так как BT - биссектриса, то \(\frac{DT}{AT} = \frac{BD}{AB}\) . Но найти BD и AB мы не можем. Есть другой способ.
6. Рассмотрим треугольник DAB. \(\frac{DA}{BD} = \cos(30°)\). \(BD = \frac{DA}{\cos(30°)}\) . \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит \(BD = \frac{2DA}{\sqrt{3}}\)
7. Из треугольника DAB: \(\frac{AB}{BD} = \sin(30°)\). \(AB = BD \cdot \sin(30°)\) . \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \). Значит \(AB = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{DA}{\sqrt{3}}\)
8. Рассмотрим треугольник DAT: \(\frac{AT}{DT} = \frac{\cos(30°)}{1}\). \(AT = DT \cdot \cos(30°)\) . \(AT = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
9. Тогда DA = AT + DT = 4√3 + 4√3= 8√3.

Ответ: DA = 8√3 см