№ 5. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете отметили точку К такую, что ZAKC=60°. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.

Ответ: 6 см

Решение:

1. В треугольнике ABC угол A = 60°, угол C = 90°, следовательно, угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. В треугольнике AKC угол AKC = 60°, угол C = 90°, следовательно, угол KAC = 180° - 90° - 60° = 30°.
3. Тогда угол KAB = угол A - угол KAC = 60° - 30° = 30°.
4. Следовательно, AK - биссектриса угла A.
5. Рассмотрим треугольник ABK. Угол KAB = углу B = 30°, следовательно, треугольник ABK - равнобедренный, AK = BK = 12 см.
6. В прямоугольном треугольнике ACK: \(\angle\)AKC = 60°, AK = 12 см.
7. CK = AK \(\cdot\) sin 30° = 12 \(\cdot\) 0.5 = 6 см.

Ответ: 6 см