№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что ∠OAK=∠OBK (рис.67). Докажите, что АК=BK.

Чтобы доказать, что AK = BK, покажем, что дуги AK и BK равны, а равные дуги стягивают равные хорды.

1. OA = OB, так как это радиусы одной и той же окружности. Значит, треугольник OAB - равнобедренный, и углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.

2. По условию ∠OAK = ∠OBK. Тогда

$$∠KAB = ∠OAB - ∠OAK = ∠OBA - ∠OBK = ∠KBA$$

3. Следовательно, треугольник ABK - равнобедренный с основанием AB, и AK = BK.

ЧТД (что и требовалось доказать)